[지수와 로그] 지수 방정식과 지수 부등식

 

단순히 지수를 사용하는 방정식과 부등식입니다.

개념적인 부분이 들어가는 과정이 아니기 때문에 각종 해법을 중심으로 보조지식들을 준비했습니다.

주제에서 조금 벗어나지만 아이러니 하게도 본 과목의 모든 것이기도 합니다.

 

이번 내용은 글이 많고 이해력이 필요해서 많이 어려울 수 있습니다.

당장에 이해가 가지 않는 부분은 이해가 되는 부분만 파악합시다.

기초 지식으로 모르는 부분이 있다면 링크를 눌러주세요.

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1.개념

※입력상의 한계로 x를 n이라 적습니다.

 

1)지수 방정식

2ⁿ = 2⁴

∴ n=4

 

2)지수 부등식

① 2ⁿ > 2⁴

∴ n>4 ,

② ½ⁿ > ½⁴

∴ n<4

 

3)계산법

①지수를 변형해서 밑을 통일한뒤 계산합니다.

②밑을 통일할 수 없다면 양변에 상용로그를 취해서 'x=log' 로 변형합니다.
③만약 밑이 미지수a 라면 0<a<1 , a=1, 1<a 에 대한 경우의 수를 모두 구합니다.

④(2ⁿ)² = 2²ⁿ 이므로 2n은 이차식이며 두개의 근 a , b를 지닙니다.  

 

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2.보조개념

※입력상의 한계로 x를 n이라 적습니다.

 

1)t=aⁿ 의 2차식 {다소 이해력 필요}

 

①t는 반드시 t>0가 됩니다. 이차식의 음근이 나온다면 허근이므로 버립니다.

②t²-at+C 라고 가정하면 t는 양의근만 존재하므로 -at>0 , C>0이 성립합니다.

③t가 양수가 되어야 하므로 완전제곱식 (t-k)²+k 에서 k<0가 아닐 때 실근은 없습니다.

④1<n<2이고 t=3ⁿ 이라면 (3¹)<t<(3²) 를 만족합니다.

⑤n>1이고 t=2ⁿ 일때 t>2를 만족합니다. 이 때, t이차식의 대칭축은 t=2보다 큽니다.

⑥t이차식에서 n이 두개의 양의 근을 지니기 위해선 t>1를 만족해야 합니다.

→이 경우 t이차식을 ƒ(t)라고 할때  ƒ(1)>0가 반드시 성립합니다.

 

※추가설명

⑥은 1-3)-④ 의 확장개념 입니다.

t=1일때 지수 n=0이며

1>t>0 일때 지수n은 (예를 들면 ½=-2 이므로,) 음수가 됩니다.

음수를 만들기 위해선 음수x양수 만 존재하므로 t>1일때만 두 근이 양수가 됩니다.

 

※추가설명2

ƒ(1)은 t에 1을 대입한다는 의미도 있지만

함수의 나눗셈에 대한 나머지라는 의미가 있습니다.

 

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2)t=aⁿ 를 통한 근과 계수의 관계 {이해력 필요}

※^는 제곱기호입니다.

 

t의관점----

t로 치환해서 t²+bt+c 라고 해봅시다.

이때 상수항 c는 = t₁×t₂ 과 같습니다. (t₁t₂는 이차식의 두 근)  

t의 두 근은 t=t₁ , t=t₂ 즉, aⁿ=t₁ , aⁿ=t₂  를 뜻하므로 a^m=t₁ , a^n=t₂ 라고 쓸수 있습니다.

 

aⁿ의관점----

그렇다면 a^m × a^n = c 라고 할수 있습니다.

만약 c를 a^k 라고 변형해서 나타내면  ※(a⁽logaC⁾) 
이때 밑이 같으므로 지수식 m+n=k 을 구할 수 있는데, 

이렇게 구한 m+n=k는 지수식=0을 만족하는 지수방정식에 대한 두근의 합입니다.

 

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3)t=aⁿ+a⁻ⁿ

산술평균 기하평균에 의해서 a+b≥2√ab 이므로

aⁿ은a, a⁻ⁿ은 b로 대입해서 최소값을 구합니다. 

이 내용을 따로 설명하는 이유는

aⁿ+a⁻ⁿ 도 t로 치환될 수 있다는 점이 중요하기 때문입니다.

 

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2.응용

 

[확장 지식]

 

1)두 지수 방정식의 연립방정식

지수식 a의 해가 1, 2

지수식 b의 해가 2, 3 일때

연립 방정식의 해는 겹치는 값인 2가 됩니다.

 

2)해의 갯수

※입력상의 한계로 x를 n이라 적습니다.

 

aⁿ+bⁿ=cⁿ

양변에 bⁿ을 나누면 (a/b)ⁿ+1=(c/b)ⁿ

해의 갯수는 y=(a/b)ⁿ+1 , y=(c/b)ⁿ의 교점과 같습니다.

 

즉 , 지수 방정식의 연립방정식을 구하기전에

교점이 존재 하는가 먼저 확인하는 과정입니다.

 

예를 들어 ƒ(x)가 g(x)보다 아래에 있으며 g(x)보다 기울기가 완만하다면

ƒ(x)와 g(x)는 서로 교점이 없으므로 해가 없을 것입니다.

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[풀이]

 

1)지수가 x 와 2x 로 통일되는 영등식

 

 

 

2)로그를 취해서 정리하기

 

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[테크닉]