친절한 토리씨

수학

• [적분 未完] 정적분의 활용

  수학/고2 2022. 11. 17. 22:37

  未(아닐 미) 가 붙은 이유는 미적분은 고3과정에서 완성되기 때문입니다. 컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두 가지 작성 규칙을 둡니다. 1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다. 2.미지수 작성에 한계가 있나 가독성에 의해 (-a~a)∫로 작성합니다. 1.속도그래프의 이동거리 속도 그래프는 사실 면적에 대한 의미가 아니라 F(x)↔ƒ(x)↔ƒ'(x)의 의미로 해석합니다. 속도 도함수는 변위그래프를 미분한 결과입니다. 그러므로 속도 그래프를 다시 적분하면 그 면적은 변위와 같아집니다. 이때 음의 면적에 의해서 값은 감소할 수 있으므로 그 의미는 현재 위치가 됩니다. 위의 그래프에서 양의 면적이 음의 면적보다 높으므로 대상은 원점보다 이동한 위치에 존재하게 됩니다. 만약 '시간-속도 그래프' 라면 실..

• [적분] 그래프의 면적 (+기하평균)

  수학/고2 2022. 11. 17. 20:48

  앞서 수열에서 조화평균을 다뤘고 이전에 산술평균은 다뤘으나 적분이 고2 마지막 과정이고 기하와 백터를 앞으로 다룰지 알 수 없기 때문에 넓이를 다루는 이번 단원에서 기하평균에 대한 설명도 같이 추가했습니다. 이번 단원은 그래프 모양 해석능력이 기본이 됩니다. 직접 그 요소를 찾아내는 능력이 중요한 단원이기 때문에 작자가 작성하는 내용은 그중에서도 모르면 조금 난잡할 수 있는 과정들만 소개합니다. 컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두 가지 작성 규칙을 둡니다. 1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다. 2.미지수 작성에 한계가 있을때 (-a~a)∫{ f(x) }Δx로 작성합니다. 1.개념 1.적분에 의한 넓이 ①함수와 x축사이의 넓이 범위에대한 정적분으로 구합니다. 위의 그래프를 기준으로 두 x교점을..

• [적분] 적분의 성질

  수학/고2 2022. 11. 16. 18:18

  성질에 대한 부가적인 설명은 접어두겠습니다. 컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두가지 작성 규칙을 둡니다. 1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다. 2.미지수 작성에 한계가 있을때 (-a~a)∫{ f(x) }dx로 작성합니다. 적분의 성질 {암기} ① ∫(ax²+bx) = ∫(ax²)+∫(bx) ② ∫2(x) = 2∫(x) ③ ∫ⁿₓF(x) = F(n)-F(x) ④ ∫²₁(x)+∫³₂(x) = ∫³₁(x) ⑤ ∫²₁(x)+∫¹₂(x) = 0 ⑥ ∫{ ƒ(x) }dx + ∫{ ƒ(y) }dy= ∫ƒ(x)dx + ∫ƒ(x)dx ⑦ 짝수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 2∫(0~a)f(x)dx ⑧ 홀수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 0 더보기 ② ∫2f(x) = 2∫f(x) dx 일때 x를 제..

• [적분] 정적분

  수학/고2 2022. 11. 15. 22:05

  정적분의 범위는 컴퓨터 작성상의 한계가 있습니다. 작자는 정적분의 범위를 ∫²₁ 로 작성하고 있으며 이는 2-1의 범위를 의미합니다. 첨자에 미지수나 수식입력이 불가능한 경우 (a~b)∫{ ƒ(x) }Δx 로 작성합니다. 시그마는 ∑(k : 1~n), 극한은 lim(n→∞) 혹은 (n→∞) 로 작성합니다. 1.개념 [정적분] 1.정의 본래의 적분 계산방법을 의미합니다. ∫ : 합을 뜻하는 S의 모양을 따온 기호입니다 ⁿₓ : dx축 상에서 a는 아래끝 b는 위끝이며 [a,b]의 범위를 의미합니다. 2.정석적인 계산법 선의 가로길이를 Δ라고할때 a~b사이의 모든 선의 넓이를 더한다는 의미입니다. 위의 식을 (a~b)∫{ ƒ(x) }Δx = (n→∞) ∑(k : 1~n) ƒ(a+(b-a)k/n)((b-a)/..

• [적분] 부정적분

  수학/고2 2022. 11. 15. 18:18

  여기에서 말하는 부정적분은 '부정 적분' 이 아니라 '부 정적분' 입니다. 작자는 가독성을 높이기 위해서 적분을 ∫{ ƒ(x) }Δx 의 형태로 작성하고 있습니다. 실제로는 중괄호를 작성하지 않아도 됩니다. 1.개념 [적분] 1.정의 임의의 범위 a~b에 대해서 축과 그래프 / 그래프와 그래프 사이의 면적을 의미합니다. 다른 그래프 없이 한개의 그래프에 대한 적분은 x축과의 면적을 의미하게 됩니다. 이때 ƒ(x)에서 계산과정을 거쳐서 완성된 함수 F(x)는 원시함수라고하며 위의 식에서 ƒ(x)는 적분 대상, 적분함수, dx는 적분변수 를 의미합니다. dx 는 미분에서 사용되었던 Δx 로써 x를 기준으로 적분했다는 의미가 있습니다. 미분과는 역함수의 관계를 지니고 있습니다. 즉, ƒ'(x)↔ƒ(x)↔F(x..

• [미분 未完] 속도의 변화율

  수학/고2 2022. 11. 14. 22:35

  부제목에 未(미)가 붙은 이유는 고2 과정에 대한 미분은 끝냈지만 미적분은 고3에 완성되기 때문입니다. 본 내용은 정규 과목에서 고2 도함수의 활용 마지막 단원에 배우는 내용입니다. 내용 자체가 실 사용과 관련있기 때문에 실사용 예제는 그중 대표적인 3개만 추려봤습니다. 부록에는 과정에서 제외한 설명이 접혀있습니다. 1.개념 [거리와 속도] 1.백터와 스칼라 백터 : 크기와 방향 변위 : 시작점에서 끝점 까지의 두 점을 기준으로 하는 일직선 변화 스칼라 : 크기 이동거리 : 총 크기 , 두 점까지의 거리에서 실제로 사용하게된 경로 2.속도와 가속도 속도 v(t) : 변위 ÷ 걸린시간 , 변위의 순간 변화율 (변위 시간 그래프의 미분) 속력 : 이동거리 ÷ 걸린시간 가속도a(t) : 속도 그래프의 미분 v..

• [미분] 삼차함수와 사차함수

  수학/고2 2022. 11. 14. 19:44

  본 과정은 미분과의 직접적인 관계가 있는 과정이 아닙니다. 그러나 삼차함수과 사차함수를 설명하기 위해선 도함수와 극값에 대한 정보가 필요하기 때문에 정규 과목에서 미분 과정중에서 삼/사차함수에 대한 내용을 도중에 끼워놓았습니다. 이전 과정에서 배운 삼차방정식에 대한 설명(특히 근과계수의관계)는 여기에서 볼 수 있습니다. 1.개념 [삼차함수] 1.삼차함수 항의 구조 {비정규과정} Ax³+ax²+bx+c A=기울기 : 양수일때 증가모양을 지닙니다. a=비틀림 : 값이 0에서 멀어질수록 극값간의 거리가 커집니다. b=중앙기울기 : 기울기 방향은 양수일때 증가방향, 음수일때 감소방향입니다. c=상하 평행이동 : 정확한 이동값은 완전제곱식으로 나타내야 알 수 있습니다. 2.삼차함수의 근의 범위 ①실근이 3개 삼차..

• [미분] 도함수 그래프와 극값

  수학/고2 2022. 11. 13. 18:36

  1.개념 [도함수의 그래프] 도함수는 오직 x=0에 대해서 더 큰가 작은가로 살펴보면 쉽게 해석할 수 있습니다. 1.증가함수 도함수를 그래프로 그렸을때 위와같은 모습을 지녔다고 생각해봅시다. 그래프의 모든 구간에서 기울기가 0이 되는 구간이 존재하지 않습니다. 그러므로 그래프는 증가함수 일 것입니다. 또한 도함수 그래프의 모양이 2차함수 이므로 미분법에 의한 계산을 생각해보면 원래의 함수는 3차함수가 될 것입니다. 기울기가 가파르게 0을 향해서 떨어지는 구간은 점점 수평이 되어가는 구간 기울기가 0에서 가파르게 멀어지는 구간은 점점 수직이 되어가는 구간이므로 이를 토대로 그래프 개형을 그린다면 함수를 그려본다면 이와 같습니다. 만약 도함수가 x축에 접하다면 그래프 중심의 한 점에서만 기울기가 0이 존재하..