[지수와 로그] 로그와 상용로그

 

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1.개념

 

[로그]

 

8(진수) 는 2(밑)의 3(지수)제곱

 

1)정의

2ⁿ 을 n=ƒ(n)의 식으로 정리하기 위해 사용되는 지수 중심의 식입니다.

2)읽는법

로그 이의 팔은 삼

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3)제약 조건

 

 

① (X>0)

X=-4를 만족하기 위해선 밑 a가 홀수/허수일때만 가능하므로 제약이 붙습니다.

② (a>0)

a가 음수일 때 X가 음양의 반복으로 특정 X값이 불가능해 질수 있어 제약이 붙습니다.

③ (a≠1)

밑이 1일때 X는 1외의 값을 지닐수 없으므로 상수함수가 되어 제약이 붙습니다.

 

※부가설명

② , ③를 겹쳐서 단순히 a>1 로 보면 안됩니다. 밑은 1미만의 분수가 될 수 있습니다.

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4)로그의 성질

※쉬운 이해를 위해 특정 구간에서 log₂3 를 ₂3으로 적었습니다. 수학적으로 잘못된 표현입니다.

 

①

₂3 X ₃2 = 1 (log₃3 은 1이므로 곱에서 약분됩니다)

ex) ₓ3 X ₃2 X ₂x = 1

ex2) ₄3 X ₃2 X ₂3 = ₄3

 

②

 

③

log₂x + log₂y = log₂XY (2²×2³ = 2²⁺³)

 

④

 

⑤

n은 임의의 실수 입니다.

 

⑥

log₂X²  = 2log₂X  ((2ⁿ)² = 2²ⁿ)

 

⑦

 

⑧

2의 -1 제곱 입니다.

 

⑨

₂4>₂3

 

⑩

 

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[상용로그]

 

 

1)정의

밑을 10이라고 가정하고 밑을 적지 않는 로그

 

2)용도

'상용로그표'를 보고 해당하는 지수를 찾는 용도로 사용됨

 

3)상용로그표

https://booolean.tistory.com/m/174

상용로그표

 

4)상용로그표 읽는법

▷log1.31

▶1.3 튜플에서 속성 1에 해당하는 숫자가 log1.31=0.1173 입니다.

 

▷log1.313

▶1.31 튜플에서 123|456|789 중에 3에 적혀있는 값을 더하면(log1.31+a) log1.313=0.1183 입니다.

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[지표와 가수]

 

n : 지표

XXXX : 가수

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1)지표의 성질

진수의 자릿수=지표+1

ex) log100의 지표는 2 ,

ex2) log0.1의 지표는 = -1

 

2)가수의 성질

가수는 값이 지니고있는 정해진 틀을 의미합니다.

ex) log5.73 = 0.75 → log57.3 = 1 + 0.75

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3)가수와 지표의 분리

양수일 경우 소수점과 정수부로 나뉘는 값을 그대로 사용할 수 있습니다.

음수일때 가수가 맞지 않는다면 지표 : n-1 , 가수 : x+1 가 됩니다

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4)일반로그의 지표

log1000 은 log₁₀10³ 에서 진수의 지수인 3을 의미합니다.

log₂2³으로 정리했을때 지표는 진수의 지수인 3이 됩니다.

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5)암기하면 좋은 로그

· log2 = 0.3010

· log3 = 0.3771

 

※부가설명

log4 = log2² = 2log2 = 2x0.3010

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2.응용

 

[기본]

 

1.등식의 양변에 로그를 취해도 등식은 성립한다.

ex)xy=16

→log₂(xy) = log₂16

∴ log₂x + log₂y = 4

 

2.정수와 로그의 합은 합성할 수 있다.

ex)Log₂x+1

=Log₂X+Log₂2

∴ Log₂2X

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[테크닉]

 

①

 

②

 

③

 

④

 

⑤

 

⑥

 

⑦

 

⑧

 

⑨

 

⑩

→등식의 양변에 log₂를 취하면..

▶t²으로 정리될 수 있습니다.

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[확장 지식]

 

1)이중로그 해석하기

ex) log₃(log₂X)=1

→ 로그값이 1이기 위해선 log₃(3)이 되어야 하므로 log₂X = 3 

∴ x=2³=8

 

2)상용로그로 지수n에 대한 식 만들기

ex) aⁿ = b를 n에 대해서 표현한다면

→ logAⁿ = logB

→ NlogA=logB

∴ N = logB/logA

 

3)자릿수를 기준으로 자연로그의 크기 범위 추정하기

ex) x³이 8자리일때

→ 7≤logX³<8

= 7≤3logX<8

∴ 7/3≤logX<8/3

 

4)숫자를 자연로그로 변환하여 자릿수 확인하기

상용 로그는 log10 일때 지표 1 , log10²일때 지표 2 이므로

log3⁴= log10<log9²<log10² 에서 3⁴는 지표1의 두자리 수라는것을 알 수 있습니다.

 

5)xⁿ의 가수로 첫번째(최고자리)숫자 확인하기

가수를 비교하여 LogA<(LogXⁿ의 가수)<LogA+1 이때 A=2일때 2가 xⁿ의 첫번째 숫자가 됩니다.

 

※추가설명

가수를 알기위해서 비교 값이 필요하므로 풀이전용에선 비교값을 직접 제공합니다.

Xⁿ의 가수는 3log2 (0.3010x3)등으로 변형해서 알아내야 합니다.