[지수와 로그] 지수 함수 (증가함수 , 감소함수)

 

그래프 이미지에서 환 공포증이 발생할 수 있으므로 주의해주세요!

 

---

1.개념

 

m은 x축 이동 , n은 y축 평행이동입니다.

 

1)제약조건

a>0 , a≠1 제약의 이유는 로그와 상용로그를 참고해주세요

 

---

2)그래프

 

① a>0

 

증가함수

함수의 모든 지점에서 x의 값과 y의 값이 정비례한다면 증가함수 라고 합니다.

혹은 함수와 관계없이 그래프에서의 모양 자체만으로는 단조증가 라고도 합니다.

함수 식으로 모든점에서 ƒ(x₂)>ƒ(x₁) 일때 증가함수라고 합니다.

---

② 1>a>0

 

감소함수

함수의 모든 지점에서 x의 값과 y의 값이 반비례한다면 감소함수 라고 합니다.

혹은 함수와 관계없이 그래프에서의 모양 자체만으로는 단조감소 라고도 합니다.

함수 식으로 모든점에서 ƒ(x₁)>ƒ(x₂) 일때 감소함수라고 합니다.

 

※추가설명

a=1일때 y=1의 상수함수가 되므로 지수함수에서 벗어납니다.

 

---

3)지수 그래프의 특성

①aⁿ에서 지수n은 -2 일때 1/a² 을 의미합니다. 즉, 지수의 음수값은 음수가 아닙니다.

②지수가 0일때 밑 a의 값에 상관없이 반드시 1이 되므로 (0,1)을 반드시 지납니다.

③(0,1)이 점을 그래프의 대표점 이라고 합니다.

④평행이동에 의해 대표점은 (x,1+y)가 될수 있습니다.

⑤특정범위의 최대값 , 최소값은 양 끝이 되나, 예외가 존재합니다. (아래 후술)

⑥지수함수와 역함수 관계를 지닙니다. 지수함수에서 설명합니다.

 

---

2.응용

※이전에 설명한 적 있는 요소들을 포함하고 있습니다.

 

[기초]

 

①

 

 

②

 

 

---

[테크닉]

 

 

---

[확장 지식]

 

지수가 ƒ(x)일때의 최대최소

 

 

ƒ(x)=x²+4x+8 일때 완전제곱식으로 나타내면 (x+2)²+4 이므로 최소값은 4가 됩니다.

그러므로 위의 식의 최소값은 a⁴가 됩니다.

 

---

[변형 그래프]

※증가함수를 기준으로 합니다.

 

①

(0,1)에서 첨점(뾰족점)을 지닙니다.

 

②

 

 

③지수함수의 합의 그래프

 

※모양보다 과정 설명이 중요하기 때문에 설명으로 대체합니다.

※입력의 한계로 x를 n이라 작성합니다.

 

⑴y=aⁿ(증가함수) 와 y=a⁻ⁿ(감소함수)를 그립니다.

⑵한점에서의 x축과 aⁿ사이의 거리와 x축과 a⁻ⁿ사이의 거리를 더합니다. 

⑶모든 x값에 대해서 구한뒤 그래프로 그립니다.

 

식에대한 결과로 첨점이 없는 이차함수의 포물선 모양이 완성됩니다.