[지수와 로그] 로그 함수

 

지수함수와 굉장히 유사한 개념을 지니고 있기 때문에

지수함수에 대해서 알고 있다면 가볍게 넘어갈 수 있습니다.

그래프 이미지에서 환 공포증이 발생할 수 있으므로 주의해 주시길 바랍니다

 

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1.개념

 

x-m은 로그의 진수로 사용된 숫자, n은 상수항입니다.

m은 x축 평행이동 , n은 y축 평행이동을 의미합니다.

 

1)제약조건

①a(밑)>0 , a≠1 → 로그의 제약 조건과 같습니다. (X>0은 아래 추가설명을 확인해주세요.)

②log₂X² ≠ 2log₂X → x²의 근과 ±x가 되므로 제약이 있습니다.

③log₂X³ = 3log₂X → 진수의 지수가 홀수일때 근은 음근으로 변화하지 않으므로 제약이 없습니다.

 

※추가설명

만약에 log₂X²를 그래프로 그린다면 일반적인 로그 그래프를 y축에 대칭한 우함수 모습이 됩니다.

로그 제약에 의하면 X는 음수가 될수 없으나,

X²에 대해서는 X가 음수일때로 양수로 변환되므로 그래프 표현이 가능해집니다.

 

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2)로그 그래프

 

① a>0

 

② 1>a>0 

 

3)로그 그래프 특성

①진수 x=1 로 만드는 지수y의 값은 언제나 0이므로 언제나 (1,0)을 지나갑니다.

②(1,0)이 점을 그래프의 대표점 이라고 합니다.

③평행이동에 의해 대표점은 (1+x,y)가 될수 있습니다.

④특정범위의 최대 최소는 양끝 혹은 진수식 logƒ(x) 의 최대 최소값이 됩니다.

⑤그래프의 밑a 가 작을 수록 그래프가 가파르게 변화합니다.

 

※logƒ(x)에 대해선 지수 함수의 [확장지식]을 참고해주세요

 

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4)로그함수의 성질

①y = log½X → -y = log₂X

②f(xy)=f(x)+f(y)

③f(x+y)≠f(x)f(y)

④logX² = 2log|X|

 

※추가설명

②:logCX는 logX+logC 이므로 logX를 logC만큼 y축 평행이동한 그래프입니다.

진수 조건에 의해서 밑 a는 0,1 이 될수 없으므로 +logC 반드시 평행이동을 한 상태가 됩니다.

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[확장 지식]

 

1.지수함수의 계수는 평행이동을 의미한다.

 

 

2.로그(이차식)의 최대/최소값
Log(이차식) 일때 이차식에 대한 완전제곱식으로 최대나 최소수치를 구할 수 있다.
다만 (Log)²일때도 최대 최소값을 지니고 있다.

 

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[변형 그래프]

 

①

 

②