[삼각함수] 삼각비간의 교환과 대칭

 

이번 과목은 삼각함수에서 가장 어렵다고 평가되는 부분입니다.

 

이해 못해도 괜찮습니다.

이해해도 못 외우면 아무것도 못하지만,

이해 못해도 외워두면 사용할 수 있는게 이번 과목이니까요.

 

그림을 보고 이해하는게 더 복잡합니다.

제가 찾은 야메 방법으로 쉬운 이해를 도와 드리겠습니다.

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1.개념

 

[삼각비 대칭]

 

1.축에 대한 값 대칭

①sin(-x) = - sin(x)

②tan(-x) = - tan(x) 
③cos(-x) = cos(x)

 

1-2.이해 설명

이 부분은 정석적으로 그림을 그려서 확인하는것 보단

기함수 , 우함수로 보는게 편하고 빠릅니다.

sin , tan = 기함수 ƒ(x)=-ƒ(-x)

cos = 우함수 ƒ(x)=ƒ(-x)

 

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2.π－θ의 변환{암기}

①sin(π-θ)=sinθ 
②cos(π-θ)=-cosθ 
③tan(π-θ)=-tanθ

 

2-2)그림 예제

 

①sin(π-θ)=sinθ 

 

 

sin=높이라 생각해봅시다.

시초선인 x축에 대하여 둘다 양의 방향을 지니고 있고 같은 크기입니다.

②cos(π-θ)=-cosθ 

 

 

-cosθ 에 붙은 음수 표시는 최종 결과값에 대한 음양 반전을 의미합니다.

즉, cosθ의 값이 음수가 됨에 따라서

두 값 모두 시초선 y축에 대하여 음의 방향을 지닙니다. 

 

③tan(π-θ)=-tanθ

 

 

a°에서의 기울기는 양수입니다.

그리고 -a°가 되었을때 기울기 값 또한 음수가 될 것입니다.

 

 

그렇다면 -(tan) 에서 양수였던 기울기를 음수로 바꾼다면 그 모양은 x축 대칭한 모습이겠죠.

이때의 기울기가 180-θ와 모양이 정확히 일치한다는 뜻입니다.

 

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3.π+θ의 변환{암기}

①sin(π+θ)=-sinθ
②cos(π+θ)=-cosθ
③tan(π+θ)=tanθ

 

3-2.이해 설명

 

그래프 개념으로 이해해 봅시다.

 

tan 그래프는 주기가 π 입니다.

그러니까 θ+π 값이나 θ+2π 값이나 θ+0π값이나 같습니다.

 

sin 은 사잇값 π 에서 x축을 지나치며 음수와 양수의 방향을 바꿉니다.

즉,  sin π 이라는 점에서의 값은 0이겠죠? 

그래서 π~θ 와 0~θ 는 음양 값만 다르지 절대적인 길이는 같습니다. 

그러므로 부호값만 바꿔주면 둘이 같아진다는 뜻입니다.

 

cos은 sin을 x축 평행이동한 그래프이므로 sin과 주기특성이 같습니다.

 

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[삼각비 교환]

 

1.π/2±θ의 변환{암기}

 

 

보라선과 파란선과 빨간선은 길이가 같습니다.

그림을 보며 아래 식들을 확인해봅시다.

 

①cos(90°-θ) = sinθ

②sin(90°-θ) = cosθ (위의 식과 원리는 같습니다.)

③cos(90°+θ) = -sinθ (빨간선이 음의 영역이니 부호를 뒤집으면 같습니다.)

④sin(90°+θ) = -cosθ (위의 식과 원리는 같습니다.)

 

1-2.tan에 대한 이해

 

 

tan(90°-θ)=cotθ

 

90에서 시작하여 음의 방향으로 기울기가 내려가고있는 -30° 와

양의 방향으로 올라가고있는 60°에서 총합 90°가 되므로 서로 만날 것입니다.

그때의 서로의 기울기는 같은 모양을 하고 있겠지만

서로의 너비와 높이가 반전된 상태가 됩니다.

이때 기울기 계산에 의해서 서로의 tan는 서로 역수가 됩니다. 

 

이해가 안간다면 간단하게 이렇게 생각합시다.

최대치는 90 일때 30의 기울기 역수는 60 , 50의 기울기 역수는 40.

 

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[삼각형의 대칭형태]

 

공식 과정에선 얼싸안고를 좋아하지만 볼 필요 없습니다.

 

cos은 x(너비) , sin은 y(높이) 라고 생각하고

x 하고 y가 둘다 음수일때 3사분면

x 만음수일때 2사분면

y 만음수일때 4사분면 이므로 그냥 그래프 대칭이동과 다른건 없습니다.

 

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2.응용

 

[추가지식]

 

y=x에 대한 평행이동은 tan를 cot로 바꿉니다.

y=x에 대한 대칭이동을 하면 식이 지닌 너비높이 x,y 값을 y,x 순서로 뒤집으므로

이때 tan는 역수가됩니다.

 

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[테크닉]

 

①

 

②

 

③