분수와 소수의 관계

https://mytory.tistory.com/30?category=987786 

분수와 정수의 관계, 그리고 소수

 

이전에 소수의 개념이 무엇인지 잠깐 다룬적이 있습니다.

이번엔 분수를 소수로 바꾸고 분수와 소수의 관계를 조금 더 들여다봅시다.

---

1.소수의 개념

 

 

지난번에 소수 0.1 이란 1/10 을 뜻한다고 했었습니다.

그렇다면 0.1의 분모가 10인 이유도 생각해봅시다.

 

앞서 수학의 기초에서 숫자 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 는 10진수라고 했었습니다.

그리고 숫자의 크기가 9를 넘어가면 10이라는 숫자로 일의 자리를 없애고 십의 자리를 새롭게 생성합니다.

그리고 이것은 분수인 1/10도 마찬가지 인겁니다.

10/10이 되면 그 크기는 1과 같으므로 분수(0.1의자리)를 지우고 1(1의자리) 이라고 쓸수가 있죠.

 

 

만약에 1/100 이 열번 모이면 10/100 이 될 것입니다.

그런데 우리는 앞서 약분을 배우면서 10/100 은 1/10하고 크기가 같다는 것을 알 수 있었습니다.

그러니까 이런 경우에는 10/100(0.01의자리)에서 0을 하나 지우고 1/10(0.1의자리) 라고 쓸수도 있을 것입니다.

 

이렇게 해서 알수 있는 점은 소수라는 것은 결국 분수를 10진수에 맞춰서 적은 숫자라는 것입니다.

 

 

 

그러므로 , 만약 분수의 분모를 10진수에 맞춘 숫자로 바꿀 수 있다면

우리는 분수를 소수로 쉽게 바꿀 수 있을 것입니다.

 

 

또한 만약에 숫자가 10 진수가 아니라 16진수라고 하면, 0.1 은 1/16 이 된다는 것을 알 수 있습니다.

*앞에 붙은 0x 는 이 숫자가 16진수로 사용됩니다 라는 뜻으로 쓰이는 컴퓨터 작성법 입니다.

 

---

2.분수를 소수로 만들기

 

소수의 개념에 대해서 깨달았다면, 소수를 분수로 만드는 방법과 그 반대도 모두 알았을 것이라 생각됩니다.

하지만 만약에 이런 경우는 어떨까요?

 

 

3은 10으로도 100으로도 1000으로도 만들 수 없습니다.

그래서 이럴때는 분수의 뜻을 잘 생각해볼 필요가 있습니다.

앞서 1/3 은 결국 1 ÷ 3 과 같다고 했습니다. 같이 해봅시다.

 

먼저 1/3은 1보다 작고 0보다 큰 숫자니까 이렇게 시작할수 있겠습니다.

 

 

그리고 이렇게 된다면 3으로 이렇게 나눠볼수 있습니다.

 

 

그런데 나머지로 또 1이 나왔네요 이렇게된다면 결국,

 

 

이렇게 숫자가 반복된다는 사실을 알수 있습니다.

이 소수는 아무리 뒷숫자를 구해도 영원히 뒤로 3이 나올 것 입니다.

 

 

그리고 이럴땐, 3이 반복된다는 의미로 위에 점을 찍습니다. 즉 1/3 은 0.333...과 비슷하다 라고 할 수 있습니다.

▷ = 기호의 위아래에 점이 찍혀있다면 그건 같다가 아니라 매우 비슷하다 라는 뜻입니다.

 

위에서 1/3 은 10이나 100 1000등의 단위로 바꿀수가 없는 숫자였습니다.

그것이 무엇을 뜻하는 것이 인가하면, 이 분수는 10진수로는 정확하게 표현할 수 없다. 라는 뜻인 겁니다.

그럼에도 이것을 10진수의 단위로 나누기를 진행하게돼니,

이 숫자는 영원히 나누어 떨어질 수 없게 된 것입니다.

 

그래서 1/3 은 0.333... 에 매우 비슷한 숫자이지만, 같은 숫자라고는 할 수 없는 것입니다.

만약에 숫자가 10 , 100 등으로 바꿀수 있는 숫자라면 그 숫자는 정확히 나누어 떨어집니다.

 

 

또한 분수를 소수로 만들때 재미있는 특징이 하나있는데, 나눗셈을 진행하다보면 같은 숫자가 반복 된다는 것입니다.

 

 

그리고 이것은 단 몇가지의 예외를 제외한 모든 소수들의 특징입니다.

다만, 숫자에 따라서 그 단위가 굉장히 길어져서 그렇게 안보일 수는 있습니다.

▷ 그 예외는 중학교 과정에서 배웁니다.

 

그리고 이런 경우에는 이렇게 쓸 수 있습니다.

 

---

ex.분수와 소수의 비교와 반올림

 

분수를 소수로 바꾸는 쪽이 좋습니다.

0.7142871428... 을 다시 5/7로 되돌리는 것은 에초에 같은 숫자가 아니기 때문에 불가능하기 때문입니다.

물론 분수로 바꾸는 쪽이 더 간편한 경우에는 그렇게 분수로 진행하는 것이 좋다고 생각합니다.

0.33333 = 1/3 이라는 점 하나만 기억해둡시다.

 

보통 초등학교 과정에서는 소수에 관련된 문제를 내면

소수점 둘째 자리에서 반올림 하시오 라고 많이 냅니다. 이럴때는,

 

 

소수점 둘째 자리는 . 에서부터 두번째 자리를 뜻 합니다.

 

 

이때 둘째자리에 있는 1은 5미만이니까 1을 포함해서 전부 버려주면 되겠군요.

 

즉, 소수는 0.00001 이 있을때

자리마다 소수점 첫째자리,둘째자리,셋째자리.. 로 읽는다는 것을 알 수 있습니다.