-
부등식
1.부등식의 정의 ①부등식의 종류 부등식 : 부등호를 통해서 미지수의 범위를 추정하는 식입니다. 미지수가 없을 땐 부등식이 아닙니다. 일차부등식 : 모든 항의 최대 차수가 1인 식 입니다. ②부
mytory.tistory.com
중학교 과정에서 배운 내용들을 제외하고 고등학교 과정에서 새롭게 배우는 과정들만 작성합니다.
①부등식의 함수
등식의 우변이나 좌변을 0으로 만들고 반대편을 f(x)로 묶어서 정리할 수 있습니다.
반드시 0을 기준으로 하기보단 상수항을 남겨서 f(x)>1 같이 유동적으로 묶을 수 있습니다.
②부등식의 연산
1)뺄셈
부등호는 음수로 표현되면서 부등호의 상하관계가 서로 반전됩니다.
2)곱셈
인수들을 서로 곱하듯이 지니고있는 모든 요소들을 모두 한번씩 곱합니다.
이때 곱의 범위는 최소값<xy<최대값으로 작성합니다.
또한 0에대한 정리를 끝냈다면 부등호가 서로다른 x>0 ,a<0 를
ax<0로 곱할 수 있습니다.
나눗셈도 이와 똑같이 계산하면 됩니다.
③미지수를 (좌)우변에 넘기기
1)
부등식의 미지수 곱정리(xy>2y → x>2)는 그 미지수가 음수인지 양수인지 알아야 진행할수 있습니다.
2)
ax>b → x>b/a a>0 x>b/a a<0 x<b/a a=0 0>b 0>b 일때 b가 1이라면 x의 해는 없습니다.
반면 b가 -1 이라면 x는 모든해를 지니고 있다고 합니다.
즉 a=0 일때 x는 해가 없거나 모든해를 지니고 있다 라고 표현합니다.
3)
0에대한 정리는 부등식에서도 활용할 수 있습니다.
④두 부등식의 음양관계(hard)
x가 다음 두 부등식을 성립한다고 했을때
ax<b , (x<3)
a,b 값에 대하여 x<3항상 성립하는 두 식의 관계는 항등 관계라고 할 수 있습니다.
그러므로 계수 비교법에의해 a=1, b=3 이라 취급하는 것과 a,b의 음양 결과가 같습니다.
과정을 살펴봅시다.
예를 들어서 a=-1, b=-3 이라 해봅시다. -x<-3 = x>3 이므로 x<3에 대해 모순이 생기게됩니다.
즉, a, b 는 x<3에 모순이 생기지 않는 범위의 숫자의 값들을 지니게 됩니다.
a=-2 일땐 b가 -6일때 성립하지 않을 것이고 결국 -3,-4,-5.... 모든 음수가 성립하지 않습니다.
a=0 일때 해가 없거나 모든 해를 지니게 될수 있으므로 x<3 와 모순되어 같이 성립되지 않습니다.
즉, 이렇게해서 a는 1 이상의 양수라는 것을 알 수 있습니다.
그렇다면 이렇게 변형할 수 있게됩니다.
x<3 을 만족하기 위해서 b/a=3 이 될 수있어야 합니다.
여기에서 b/a=3의 식을 정리했을때 b=3a가 됩니다.
그런데 a는 1이상의 양수이므로
즉, b는 양수가 되어야만 식이 반드시 성립한다는 것을 알수 있습니다.
따라서, a=1, b=3 으로 계수비교법을 한 것과 음양 관계가 다르지 않다는 것을 알 수 있습니다.
ax<b , (x>3)
같은 설명과 이유를 통해서 서로 반전된 이 식에서 a=-1, b=3 이므로 a<0 , b>0 입니다.
⑤절댓값의 부등식
1)
|-x|=x |x|=x 이므로 부등식에서 |x|<a 는 x<a, -x<a 두가지가 동시에 있다고 취급합니다.
2)
절대값이 음,양이 되기위한 조건의 부등식과 풀어낸 부등식이 서로 모순 되는 해는 버립니다.
부등식의 곱은 범위가 넓어지고 절대값의 해는 범위가 좁아진다는 점에 주의해야합니다.
3]
(|x|+4)에 대해서 |-4|=4 일때와 |4|=4가 되므로 4에관련한 해는 존재할 수 없습니다.
한편 , |-3|=3 일때와 |3|=3이 되므로 3에 관련한 두 가지 부등식의 해가 생깁니다.
⑥부등식의 연립
연립에서는 범위의 변동이 발생하거나 더 좁아지며
결합에서는 단순히 범위가 더 넓어진다는 점에 주의해야합니다.
1)부등식
⑴분리 및 정리
⑵연립
⑶결합
x의 범위에서 x가 2를 포함하게 되면서 <2 부분이 상쇠되어 사라집니다.
2)등식
⑴연립
⑵결합
쓰이는 단위가 정수 라는 조건을 지니고있을때 x가 3을 포함하게 되었으므로 최대 단위를 +1 처리합니다.
⑦이차부등식
1)음양관계
⑴a의 음양관계
칠의 범위를 부등식의 영역이라 합니다. 1(x-m)(x+n)<0 일때 (m,n은 양수)
(x-m)가 음수가되어 부등식을 성립하기 위해선 x<m 이라고 할수 있습니다.
한편 (x+n)측에서 음수가 되기 위해선 x<-n 의 범위를 지녀야 되겠으나
이때 x-m측이 같이 음수가 되므로 곱해서 양수가 됩니다.
즉, (x+n)이 음수인데 (x-m)이 양수인 상황은 존재할 수 없으며,
x<-n 을 x>-n 으로 바꿧을때 최종 범위는 m>x>-n 이 될 것입니다.
그런데 - 1(x-m)(x+n)<0 라고한다면 이 결과가 반전됩니다.
x<m 일때 (x-m)가 음수가 되면서 -1 로 인해 곱해셔 양수가 됩니다.
그러므로 a<0 일땐 x>m가 만족 되어야 합니다.
한편 (x+n) 측에서 x<-n 일때 (x-m)(x+n)가 둘다 음수가 되므로 이또한 성립이 됩니다.
그러므로 a가 음수라면, x<-n , x>m 를 만족해야합니다.
+,- 형태의 인수가 아니라 +,+형태 , -,- 형태에서도
a가 양수면 x가 중앙에있는 형태, 양수면 벌어지는 형태를 지니게됩니다.
반대로 말해서 x가 중앙에 모여있는 상태의 이차부등식은 a가 양수다 라는 점이 핵심입니다.
⑵ab의 조합
ab<0 의 식에선 이미 a또는 b중에 한개가 음수라는 것을 알수 있습니다.
ab>0 의 식에선 a와 b의 부호가 서로 같음을 알 수 있습니다.
(x-1)(y-1)<0 에서 (x-1) 와 (y-1)가 음수,양수의 조합을 이루고 있다고 할 수도 있습니다.
2)이차부등식의 해
⑴완전제곱식
0으로 정리한 이차부등식을 완전제곱식으로 표현했을때 남은 상수항이 양수라면
이때 x가 어떤 숫자가 되어도 이 식을 성립할 것입니다.
즉, 완전제곱식의 상수항이 양수일때 모든 해를 지닌다 라고 합니다.
⑵인수분해
완전제곱식으로 남는 상수항이 음수일땐 (주로 상수항이 음수이며 x일차항이 양수일때)
식을 인수분해하여 해의 범위를 구합니다.
역으로 보는 것도 상당히 중요합니다.
-4<x<1 를 해로 가지는 이차부등식은 a(x+4)(x-1)<0 일 것이며 a>0 일 것입니다.
인수분해가 되지 않는 식은 근의 공식을 활용해줍니다.
두 근이 1±√2 라고 할때 (x+1+√2)(x++1-√2)로 표현됩니다.
3)이차 연립부등식
이차 연립부등식은 이차부등식 각각의 해를 구한뒤 나온 부등식 둘을 연립해줍니다.
이에 대한 몇가지 특징을 살펴보겠습니다.
⑴수직선상 표현
하얀점은 <.> 를 뜻하며 검은점은 ≤,≥ 를 뜻합니다.
두 식의 해의 범위가 위와 같을때 연립 부등식의 결과는 서로 겹치는 4<x≤5 가 될 것입니다.
겹치는 범위가 둘 이상 존재한다면 그 또한 해로 취급됩니다.
⑵연립부등식의 최대 최소
위의 그림에서 연립부등식을 만족하는 x 의 최대값은 5 입니다.
반대로 x의 최소값은 1입니다.
⑧부등식 그래프
1)일차부등식 그래프
부등식의 그래프는 면을 지닙니다.
만약 ≤같이 등호가 포함된 부등식일경우 이 범위에 선이 포함되며,
<같이 등호가 포함안된 부등식은 면 만을 지닙니다.
부등호의 기준은 y 값이 됩니다.
즉, y=1 일때 y≤1 의 모든 값인 1,0,-1,-2...등이 모두 포함될 것입니다.
2)이차부등식 그래프
일차식과 이차식 등이 모두 적용되며 y>x의 형태라면 선의 윗면들을 차지할 것입니다.
3)두 그래프의 교점
⑴일차식과 이차식
1.x의 최대,최소값은 연립방정식의 해와 같습니다.
2.y의 최소값은 꼭지점입니다..
3.y의 최대값은 f(연립해중하나)가 됩니다,
4.x+y의 최대값 : 직선 그래프의 기울기가 양수라고하면 x최대값 + y최대값과 같습니다.
5.x+y의 최소값은 x+y=k라는 가상의 그래프와 이차함수의 중근의 해라고도 볼 수 있습니다.>y=x² 과 y=-x+k 를 연립하면 x²+x-k=0 라고할때, 중근을 만족하는 D=0으로 k의 값을 구할 수 있습니다.
⑵일차식과 일차식
두 1차 부등식의 x+y의 최소값 혹은 최대값은 교점좌표의 합이됩니다.
만약, x+y가 정수이며 이때 ≤ 기호가 아니라 < 고 쓰여진 두 부등식 그래프의 교점을 구했다면
근사치의 합을 구합니다. 예를 들어서 (1,-1)이 교점이라했을때 (1,-2),(0,-1)의 후보가 있을 것입니다.
⑨응용
A1)a에대한 x의 부등식
사실 수학보단 국어의 영역에 가깝습니다.
해석 하자면 a의 크기 영역별로 존재하는 모든 x의 부등식을 찾으라는 뜻입니다.
비교의 중심이되는 미지수는 x입니다. a에대한 x의 부등식
a²+1은 합차연산이므로 반대편에 넘길 수 있으나 (a-1)는 음양여부를 모르므로 제거할 수 없습니다.
① a=1일때 항등식이됩니다. (0x=0)
② a>1일때 양변의(a-1) 를 제거하고 → x>a+1 로 정리됩니다.
③ a<1일때 x<a+1로 정리됩니다.
이때 a에 대한 x 의 부등식은 '항등식(a=1), x>a+1(a>1), x<a+1(a<1)'이 됩니다.
A2)부등식을 만족하는 a의 범위
함수 f(x)= x²-x 의 최소값은 완전제곱식으로 표현했을때 -1/4가 될 것입니다.
즉, a는 x²-x에 대해서 -1/4보다 작은 수일때 부등식이 성립할 것입니다.
A3)x의 범위를 만족하는 a의 범위
A4)부등식해의 역추산
식이 이해가 안간다면 근과 계수의 관계를 살펴봅시다.
a는 양수이므로 0에대해서 정리할수 있습니다. (⑦-1)-⑴ 참고)
A5)완전제곱식 정리
A6)f(x)간의 부등호 그래프
2차식을 f(x) , 1차식을 g(x) 라고 했을때
f(x)>g(x)에 해당하는 범위는 x<-2, x>3 입니다.
f(x)<g(x)에 해당하는 범위는 -2<x<3 입니다.
f(x)의 크기는 y값을 기준으로 합니다.
A7)
기계는 하루에 18시간만 운용할 수 있으며 x를 하나 만들기 위해선 3시간 y를 만들기 위해선 6시간 소모된다.
> 3x+6y<18
A8)
A9)
cos 은 반드시 -1~1 의 범위를 지닙니다.
여기에서 cos θ 를 x로 치환해서 쓴다면
-1<x<1 로 정리됩니다.
⑩심화
a)일차함수 f(x)<x<g(x)의 그래프
f(x)<x<g(x) 의 그래프는 4면으로 나누어진 면의 대칭된 두쪽을 차지합니다.
만약 등호가붙은 (≤,≥) 식일경우 선을 포함하며, 아닐경우 포함하지 않습니다.
b)
(0,0)(1,1)의 선분과 직선 f(x,y)=ax+y+b=0 의 교점이 존재하기 위해선
f(0,0)0≤0 , f(1,1)≥0 를 만족해야 한다는 사실을 알 수 있습니다.
그리고 단순히 이를 a<0, b>0 으로 살펴본다면 이때 ab<0 일 것입니다.
즉, f(0,0)*f(1,1)≤0 이 만족될때 즉, (b)(a+b)≤0 가 만족할때 직선과 선분은 교점을 지닙니다.