허수와 복소수

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1.허수

 

①i의 개념

 

 

생각해보면 2의 제곱근은 ±√2 입니다. 합,차,곱을 하더라도 부호가 √의 밖에 존재하게 됩니다.

 

 

그렇기 때문에 위 처럼 루트안에 음수가 들어가는 것은 일반적인 루트계산으로는 존재할 수가 없습니다.

다만 수학적으로 계산을 용이하게 위해서 (ex.음수의 제곱근) 개념적으로만은 존재의 의의가 존재합니다.

 

 

그래서 만약 어떤 숫자에 √(-1)을 곱한다면 , 그 숫자는 개념적으로만 존재하는 숫자 즉, 허수가 될 것입니다.

다만 허수를 표현 할때마다 √(-1)의 곱임을 일일히 적기보단

이에대한 줄임말인 i(imaginary number) 라는 기호를 사용하게 됩니다.

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②i의 제곱

 

 

이해가 어렵진 않습니다만 아래의 특성과 헷갈리지 않도록 주의해야합니다.

 

 

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③i의 특성

 

1)i식의 정리

 

지금부터 무조건 먼저 해 놔야합니다.

 

2)인수분해 특성

 

 

단순히 인수를 전개하면 나오는 결과입니다.

 

3)제곱의 특성

 

 

4)양의 제곱근과의 조합

 

 

강조한 조합은 꼭 헷갈리지 맙시다.

 

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2.복소수

 

 

복소수란 실수와 허수의 조합으로 이루어져있는 식을 의미합니다만

그렇게 따지면 음수도 허수니까 '2-1' 도 복소수가되니 어디까지나 사전적 의미입니다.

실제 뜻은 허수 i 가 붙어있는 수와 아닌 수의 조합으로 이루어져있는 식이라고 보는 것이 맞습니다.

 

a가 0 일때 순허수 라고하며, b가 0 일땐 그냥 실수라고 합니다.

 

①특징

 

1)합차

 

 

복소수는 합차와 관련하여 허수항과 실수항이 서로 분리되어 있습니다.

 

2)곱

 

 

복소수의 곱은 두개의 인수를 전개하는 과정과 같습니다. 단, i²=-1이 된다는 점에 유의해야 합니다.

 

3)계수비교법의 성립

 

 

복소수는 허수항과 실수항 간의 서로 분리되는 특성 덕분에 계수비교법이 성립합니다.

 

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②켤레복소수

 

 

허수항의 부호를 반대로 반전한식을 켤레복소수라고 합니다.

식에 기호가 있다면 기호위에 작대기를 그어줍니다.

 

1)켤레근

 

먼저 근의 공식을 다시 살펴봅시다.

 

 

만약에 여기에서 4ac > b² 가 된다면 허수i가 발생하게됩니다.

이때 -b 항과 함께 복소수의 형태를 지니게되는데, 공식의 ±√ 의 특성상 두 근은 서로 켤레복소수가 됩니다.

그래서 복소수의 근이 존재한다면 반드시 켤레근이 존재한다고 할수 있습니다.

+같은 이유로 유리수+무리수(ex.3+√2)의 근도 반드시 켤레근이 존재한다고 정의됩니다.

 

이때 허수i 단위를 허용하는 근의공식을 복소수범위 인수분해 라고하며,

이렇게 구해진 i가 들어간 근을 허근이라고 합니다. 

i가 없는 일반적인 근은 실근이라고 합니다.

 

2)대칭

본래 허수i 는 특징상 그래프에 표현이 안됀다는 점에 명심합시다.

위의 예시는 어디까지나 시각적으로 이해하기 위한 가상의 그림입니다.

 

켤레근은 실근 축으로 서로 대칭되는 위치를 가집니다.

 

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3.응용

 

A1)

분수에서 분모의 i는 제거할 수 있습니다.

 

A2)

영등식에서i는 제거할수있습니다.

 

A3)

 

A4)

 

허수i와 미지수가 들어간 이차방정식의 실근을 구한다면 a+bi 형태로 묶어준뒤 b=0 이라고 판단합니다.

허수i가 들어간 이차방정식은 실근을 지닐 수 없기 때문입니다.

 

A5)