다항식의 곱과 나눗셈

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1.다항식의 곱셈

 

 

두개의 식의 곱을 표현할땐 인수분해처럼 괄호로 단위를 구분하여 서로 붙여씁니다.

곱으로 식을 전개하는 것은 인수분해 단원의 역계산하기 단원을 참고해주세요.

 

 

식(인수)이 3개 존재한다면 2개를 먼저 전개한뒤 남은 한개를 전개해줍니다.

 

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2.다항식의 나눗셈

 

미지수 작성

Q(x) : 미지의 몱 혹은 몱의 방정식을 의미합니다.

R(x) : 미지의 나머지 혹은 나머지의 방정식을 의미합니다.

 

①이차식 이상으로 식을 나눌 때

 

 

다항식에서 다항식을 나누면 몱과 나머지로 다항식이 나옵니다.

나머지가 0 이라면, 몱과 나눈 값은 원본 식의 인수 라고 할 수 있습니다.

만약 나머지가 있다면, 원본 식 f(x) = Q(x)(나눈식)+R(x) 가 성립합니다.

5÷2 = 2 ... 1 일때 5 = 2x2+1 인 것과 같은말입니다.

 

 

②일차식으로 나눌때(조립제법)

 

 

!!주의사항!!

식f(x) ÷ x-½의 R(x) 는 식f(x) ÷ 2x-1의 R(x) 와 같습니다.

하지만 x-½ 로 계산한 Q(x) 와 2x-1 로 계산한 Q(x)의 값은 다릅니다.

 

그래서 조립제법은 x항의 계수가 1인 숫자(ex. x-1 , x+2) 로 식을 나눌 때만 주로 사용하며

계수가 1이 아닌경우 Q(x)는 ①번 방식으로 구합니다.   

 

-1 로 시행하여 나머지가 0일 때 이 다항식은 x+1 을 인수로 지닙니다.

여기에서 -1은 인수 (x+1) 을 0으로 만드는 x의 값 이라고 이해하면됩니다. 

 

조립제법의 원리는 다른 블로그를 참고해주세요.

주제를 벗어나서 '조립제법' 만 길게 작성할수 없기 때문입니다.

 

 

③약분

 

 

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3.다항 등식의 합차

 

다항식 2개를 각각 A 와 B라고 하겠습니다.

 

 

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Ex1.인수와 상수항,계수 의 관계

 

1)인수 → 계수

 

(x²+x+1)(x³+x²+x+1) 에서 1차항 (x항) 의 계수를 알기 위해서 식을 전부 전개할 필요는 없습니다.

식간의 곱셈 순서를 생각해보면서 살펴봅시다.

x항은 [x(좌측인수)곱 1(우측인수)] 과 [1(좌측인수)곱 x(우측인수)] 단 두번의 경우에만 발생합니다.

그러면 1x+1x=2x 이므로 (x²+x+1)(x³+x²+x+1) 의 x항은 2x가 될 것입니다.

 

 

2)계수 → 인수

 

!!주의사항!!

3차식 이상부터 모든 항이 양의 부호를 지니고 있어도 인수에 음수가 존재할 수 있습니다.

 

최고차항이 2 라면 인수들의 최고 차항은 2x1 을 성립합니다.

상수항이 1이라면 인수들의 상수항은 1x1 을 성립합니다.

 

그러나, 1) 에서 명시한 방법으로 x항의 계수를 확인해서 x항이 서로 다르다면

이 다항식은 더 이상 인수분해를 할 수 없다고 할 수 있습니다.

 

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Ex2.식의 단위 치환

 

 

다항식의 연산을 하기 전에 식에 분수가 존재하거나 반복된 식의 구성이 있다면

먼저 식을 A 나 B로 치환해서 정리해줍니다.

 

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심화개념

 

작성자가 직접 고안한 문제들이 아니며, 실제로 문제풀이에 존재하는 것들입니다.

누군가가 알려주기 전까진 스스로 해법을 찾기 매우 힘든 문제들을 예시로 보여드립니다.

 

ⓐ

(x+b)(x+1)을 인수로 가지는 ax⁴+x³+ax+1 의 a,b의 값을 구한다고 해보자.

x⁴의 계수a는 1xa 혹은 -1x-a 라고도 할수있다.

위의 다항식에서 (x+1)을 인수로 지니며, 상수항이 1인 다항식은 ax+1를 인수로 지닐 것이다.

ax⁴+x³+ax+1 ÷ ax+1 를 ①의 방식으로 구했을때 Q(x)=x³+1, R(x)=0

∴ ax⁴+x³+ax+1=(x³+1)(ax+1)=(x+1)(x²-x+1)(ax+1)

∴a=1 , b=1

 

ⓑ

2x²-2ax-5x+a+2 를 인수분해한다고 해보자.

2x²+(-2a-5)x+(a+2)의 단위로 봤을때 상수항 a+2는 (a+2)×1 혹은 -(a+2)×-1단위로 볼수있다.

(x-(a+2))를 인수로 지니고있을때 조립제법에 적용해본다면 다음과 같다.

 

 

그러므로 이 식은 (2x-1)(x-a-2)의 인수를 지니고있다.