제곱근

+2022.10.30 내용 수정

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1.제곱근의 개념

 

 

①제곱근의 기본개념

※입력상의 한계로 루트 머리를 작성하지 못했습니다.

 

 

제곱근이란 제곱의 반대개념입니다.

2² 의 제곱근은 2 입니다.

이를 다르게 표현해서 4의 제곱근은 √4(루트 사) 입니다.

 

제곱근은 제곱과 달리 세 제곱근 , 네 제곱근의 개념이 없습니다.

※세 제곱근 이상도 존재 합니다. 다만 중등과정에서 이를 다루지 않습니다.

 

그래서 언제나 제곱근의 값은 지수의 ÷2 의 값을 지니게 됩니다.

 

 

지수가 짝수가 아니라면 √8 의 값은 √8 로 그대로 적어서 씁니다.

 

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②제곱근 구하기

 

 

제곱근은 소인수 분해를 통해서 나온 값들중에 중복되는 값들을 지워서 구할 수 있습니다.

 

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만약에 √2 같이 제곱으로 나누어 떨어지지 않는 숫자를 정리해야 한다면 다음과 같이 구합니다.

※보통은 이 과정을 진행하지 않습니다. 소수가 반복되지 않는 무리수는 루트로 쓰는게 정확합니다.

 

⑴

 

먼저 다른 정수들과 비교해서 이 제곱근이 어느정도 크기인지 감을 잡습니다. 

 

 

⑵

 

비교를 통해서 얻은 값을 빼고, 00 을 아래로 내려줍니다.

 

 

⑶

 

나눌때 사용한 값을 자기자신과 더해서 아래로 같이 내려줍니다.

 

 

⑷

 

내려온 빨간색 숫자를 10의 자리로 두고

1의 자리를 0~9까지 차례대로 대입해서 나눗셈을 진행해봅니다.

그중에서 몱 과 사용한 1의 자리가 같은 숫자가 되면 00 을 내리고 다음으로 이동합니다

 

 

⑸

 

나누기에 사용한 1의 자리만큼 다시 더해서 내려줍니다.

 

 

⑹

 

내린숫자의 자릿수를 올려서 1의 자리를 찾는 연산을 반복해줍니다

 

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②제곱근의 특징

 

1)제곱근의 정수분리

 

 

제곱근을 구성하는 소인수중에 제곱을 만족하는 일부분을 대분수 처럼 정수로 구분할 수 있습니다.

 

 

 

반대로 정수로 분리되어있는 제곱근을 모두 제곱근으로 되돌릴 수도 있습니다.

 

 

 

정수로 구분된 제곱근은 2√2 와 2 x √2 는 같습니다. 분수에서 √2 나 2 를 약분에 활용할 수 있습니다.

※1×√2 = √2 , 2×1×√2 = 2√2

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2)제곱근의 곱과 합

 

 

제곱근은 근호 내부에서 곱하는 것과 외부에서 곱하는 것의 의미가 동일합니다.

정수와 근호가 붙은 무리수의 곱은 이어 붙히거나 정리해서 근호안으로 넣을 수 있습니다.

 

근호는 자기자신과 같은 소인수를 지닌 무리수를 곱할때만 제거됩니다.

※√6 x √2 는 정수가 되지 않지만 √6 x √6 혹은 √6 x √3 x √2 는 정수로 변환할 수 있습니다.

 

 

 

제곱근의 합은 근호 내부에서 하는 덧셈과 외부에서 하는 덧셈의 의미가 다릅니다.

근호 외부의 덧셈은 같은 숫자를 지닌 제곱근 끼리만 가능합니다.

 

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3)0과 음수의 제곱근

 

 

0의 제곱근은 0으로 취급합니다.

음수x음수는 양수가 되므로 음수는 제곱근으로 표현할 수 없습니다.

단 , 개념적으로 필요에 따라 이를 활용하는 경우가 있으나 고등과정에서 배웁니다.

 

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4)제곱근은 음의 값과 양의 값

 

요약하자면 , √(2)²=2 그러나 2=±√2

 

√2²=2 라고 표현할수 있으나 이를 역순으로 2＝√? 로 표현한다면

음수의 제곱또한 양수가 되므로 후보 2를 만들수 있는 후보가 됩니다.

그래서 2에대한 제곱근은 ±√2가 됩니다.

 

5)4의 제곱근 , 제곱근 4

 

이 주제는 한국만 문제가 되는 특징입니다.

다른나라에선 이런식으로 언어유희를 하지 않습니다.

 

4의 제곱근 

 

 

4가 지닐수 있는 제곱근의 경우는 2, -2 입니다.

 

제곱근 4

 

√4 를 순서대로 읽은 말입니다.

√=제곱근 4=사 → 제곱근 사

 

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5)제곱근과 미지수

 

 

음수가 제곱이 되면서 양수가 되기 때문에 만약 미지수 a로 표현한다면

계산하기 위한 전제조건이 필요합니다.

 

 

 

만약에 √(a)²=a 라고 간단하게 표현해 버리고 대입하면 위와 같은 문제가 발생합니다.

 

 

그러므로 제곱근 a 를 풀기 위해선 a 가 양수인지 음수인지에 대한 전제 조건이 필요합니다. 

 

음수식의 결과로 -가 붙는 이유는 예를 들어 a 가 -1 이라고 하면 √(-1)² = -(-1)로 음수를 양수로 바꾸기 위한 용도입니다.

즉 , 여기에서 쓰인 -a는 음수를 뜻하는것이 아니라 부호를 반전한다는 뜻으로 해석하는 것이 맞습니다.

 

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제곱근 응용은 다음 페이지 에 작성 되어 있습니다.