내심 외심 무게중심

 

 

+2022-11-18 문맥상 흐름을 조금 수정

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1.심의 종류

 

 

①내심

 

 

도형의 내각을 정확히 이등분하는 모든 선들이 만나는 지점을 내심 이라고 합니다.

 

 

내심에서 변까지의 긋는 모든 수선들의 길이는 같습니다.

내심을 기준으로한 수선을 반지름으로 그려지는 원을 내접원이라고합니다.

이때 내각을 이등분하는 선과 수선은 별개의 선 이므로 헷갈리지 않게 주의가 필요합니다. 

 

 

내심 주위의 각도는

각이 바라보는 방향의 꼭지점의 각과

자신이 속해있는 꼭지점의 각을

반반씩 합친 크기가 됩니다. 

 

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②외심

 

 

모든 변의 수직이등분선들이 만나는 지점을 외심 이라고 합니다.

 

 

꼭지점에서 외심을 향하는 선들의 길이는 모두 같습니다.

꼭지점에서 외심을 향하눈 선을 반지름으로 그려지는 원을 외접원이라하며,

외접원은 도형의 모든 꼭지점이 호에 겹친다는 특징이 있습니다.

 

 

꼭지점에서 외심까지 선의 길이가 같으므로

내부의 모든 삼각형들은 이등변 삼각형이 됩니다.

또한 수직 이등분선을 축으로 서로 대칭되는 삼각형이 생겨납니다.

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③무게중심

 

 

넓이를 정확하게 3등분하는 선을 무게중심 이라고 합니다.

혹은 꼭지점을 마주보는 변에 그은 이등분 선들이 모이는 지점 이라고도 할 수 있습니다.

 

 

꼭지점에서 무게중심으로 지나가는 직선은 무게중심을 기준으로 1 : 2의 비율로 갈라집니다.

그림에 이해가 안가신다면 도형의 비율을 참고해주세요

 

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2.심의 응용

 

①내심의 응용

 

1)내심과 평행선의 이등변삼각형

 

 

내심은 각을 정확히 이등분한 선 이므로

평행선에 대한 엇각을 통해서 양각이 같은 이등변삼각형을 만들 수 있습니다.

 

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2)직각삼각형의 변의 길이로 내심원의 반지름구하기

 

 

내심원은 변에대한 모든 수선의 길이가 같습니다.

그러므로 원본 삼각형의 넓이는 수선을 높이로하는 내부의 삼각형들의 넓이의 합으로 응용할 수 있습니다.

 

 

직각삼각형이라면 삼각형의 넓이를 변의 길이 만으로 구할수 있으므로

이를 내부의 삼각형들과 비교해서 내접원의 반지름을 구할 수 있습니다.

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②외심의 응용

 

직각삼각형과 외심원

 

 

 

꼭지점에서 외심까지의 모든 선의 길이는 같으므로 내부에 만들어지는 삼각형들은 이등변삼각형입니다.

 

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③무게 중심의 응용

 

1)중심에서 넓이 나누기

 

 

삼각형의 넓이는 모양에 상관없이 밑변 x 높이 x ½ 이므로

변의 중점부터 무게중심까지 선을 그어서 넓이를 균등하게 나눌 수 있습니다.

 

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2)무게중심과 평행선

 

 

무게중심은 내선의 비율이 2 : 1 을 유지하므로 평행선을 이용해서 변을 3등분 할 수 있습니다.

변이 3등분되는 이유는 도형의 닮음을 이해해서 파악할 수 있습니다.

 

 

위의 예제로 3등분 되어 나누어진 삼각형은 무게중심의 수선 만큼의 높이를 공유합니다.

내부의 삼각형들은 같은 밑변의 길이와 높이를 가지므로 같은 넓이를 가질 것입니다.