[적분 未完] 정적분의 활용

 

未(아닐 미) 가 붙은 이유는 미적분은 고3과정에서 완성되기 때문입니다.

 

컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두 가지 작성 규칙을 둡니다.

1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다.

2.미지수 작성에 한계가 있나 가독성에 의해 (-a~a)∫로 작성합니다.

 

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1.속도그래프의 이동거리

 

 

속도 그래프는 사실 면적에 대한 의미가 아니라 F(x)↔ƒ(x)↔ƒ'(x)의 의미로 해석합니다.

 

속도 도함수는 변위그래프를 미분한 결과입니다.

그러므로 속도 그래프를 다시 적분하면 그 면적은 변위와 같아집니다.

이때 음의 면적에 의해서 값은 감소할 수 있으므로 그 의미는 현재 위치가 됩니다.

 

위의 그래프에서 양의 면적이 음의 면적보다 높으므로

대상은 원점보다 이동한 위치에 존재하게 됩니다.

 

 

만약 '시간-속도 그래프' 라면

 

실제로 첨점이 존재하는 그래프일지 도함수의 절대값 그래프인지 분간할 수 없습니다.

이 경우 적분의 면적은 총 이동거리의 의미로 보게됩니다.

 

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2.속도그래프 특징

 

①

변위의 값이 0일때 하나의 축에 대해서 다시 원래의 장소로 복귀했다고 볼 수 있습니다.
다만, 이것이 그래프상에서 y=0의 지점을 의미하진 않습니다.

극소 부분의 넓이와 극대 부분의 넓이의 합이 다를 수 있기 때문입니다.

 

②

속도가 일정하다 : 상수함수
정지상태에서 움직이기 시작하다 : 상승함수
움직임을 멈추기 시작하다 : 감소함수

 

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[기본]

 

속도 그래프 읽기

 

 

속도가 t²-2t 일때 

 

t=4에서의 원점과의 거리 : (0~4)∫ , 

t=1~2사이의 변화량 : (1~2)∫, 

t=4까지 총 움직인 거리 : -(0~2)∫+(2~4)∫

 

t≥0 이므로 그래프의 -t 부분은 완전히 무시합니다.

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[실사용 참고]

 

흐르는 물의 양
물이 흐르기 시작해 멈출때 까지의 물의양은

속도 0시작~0끝까지의 양이됩니다.

그러므로 속도그래프의 두근 사이의 적분이 됩니다.

 

위끝과 아래끝의 기준

점이 P를 지나 t초동안 달려서 Q에 도달했다면 그 거리는 ∫(0~t). 

여기에서 t가 가로축

p,q는 세로축의 지점 x=p 와 x=q 가 됩니다.

 

시작 지점이 다른 두점의 움직임 그래프

 

점b가 점a를 2초뒤에 따라갔으며 

a가 p에 도달할때까지 시간을 t , 

b가 p에 도달할때까지 시간은 t+2 라고 해봅시다.

이때 b의 그래프는 (0~2)∫가 0이므로

(2~t+2)∫와 ∫(0~t+2)의 값이 같습니다.

 

※변위 거리는 적분값을 기준으로 하기 때문에 a 와 b는 상승함수가 아닐 수 있습니다

 

예시 :

 

 

속도는 절대값을 지님
위로 쏘아올린 공의 속도가 20-10t 라고 하면

이때 최고높이는 t=2 ,

t>2일때 떨어지는 속도는 -가 될수 없으므로

총 이동거리인 적분식은 ∫(0~n)|20-10t|

 

속도의 임계점

열차가 출발후 5분동안 달린거리 

= 상승함수의 적분값 + 상수함수

속도가 최대가 되면 값이 변하지 않아 상수함수가 되기 때문입니다.

 

 

정점과 동점의 최소거리

좌표 10에서 출발하는 점이 2t-4의 속도를 지닐때

이동거리를 10+(0~t)∫2t-4 라고 한다면 

완전제곱식으로 (t-2)²+6 

즉 t=2에서 최소값 6일때 원점 0에 가장 가깝습니다.

여기에서 원점은 10 지점이 아닌 0 지점을 의미합니다.

 

 

동점과 동점의 접점

두 움직이는 좌표가 단 한번 만나려면

두점의 속도 함수를 ƒ(x) , g(x) 라고 할 때 

(0~t)∫ƒ(x)=(0~t)∫g(x)에서 양의 근이 1개있어야 합니다. 

속도에는 음수가 없기 때문에 음수값은 허근 취급됩니다. 

 

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적분 未完

 

고2 完.