[적분] 적분의 성질

 

성질에 대한 부가적인 설명은 접어두겠습니다.

컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두가지 작성 규칙을 둡니다.

1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다.

2.미지수 작성에 한계가 있을때 (-a~a)∫{ f(x) }dx로 작성합니다.

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적분의 성질 {암기}

① ∫(ax²+bx) = ∫(ax²)+∫(bx)

② ∫2(x) = 2∫(x)
③ ∫ⁿₓF(x) = F(n)-F(x)
④ ∫²₁(x)+∫³₂(x) = ∫³₁(x)
⑤ ∫²₁(x)+∫¹₂(x) = 0 
⑥ ∫{ ƒ(x) }dx + ∫{ ƒ(y) }dy= ∫ƒ(x)dx + ∫ƒ(x)dx
⑦ 짝수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 2∫(0~a)f(x)dx

⑧ 홀수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 0

 

<부가 설명>

 

② ∫2f(x) = 2∫f(x)
dx 일때 x를 제외한 나머지에 대해서만 안/밖의 이동이 가능합니다.
ex)
(d/dx)∫ƒ(x)dx=ƒ(x) ,
∫(d/dx)ƒ(x)dx=ƒ(x)+C ,
∫(d/dx)(ƒ(x)+C₁)dx=ƒ(x)+C₂

만약 (d/dt)∫f(x)dx 같이 서로가 다른 변수일땐 안/밖의 이동이 가능합니다. 같을때 이동이 불가능한 이유는
x의 차수가 달라질때 미적분 값이 x²↔2x , x³↔3x²로 달라지기 때문입니다.

④ ∫²₁(x)+∫³₂(x) = ∫³₁(x)
⑴ 연속 함수에 대해서만 성립합니다.
⑵ ∫ ²₁(x)+∫¹₂(x) = ∫²₁(x)-∫²₁(x)
⑶ ∫ ⁸₁(x)+∫⁰₈(x) = ∫⁰₁(x)
※ 1-8+8-0 = 1-0

⑤ ∫²₁(x)+∫¹₂(x) = 0 
계산식중에 F(a)-F(b)↔F(b)-F(a)로 반전되기 때문에 결과가 3↔-3간의 대칭이 됩니다.

⑥ ∫{ ƒ(x) }dx + ∫{ ƒ(y) }dy= ∫ƒ(x)dx + ∫ƒ(x)dx
x와 y가 둘다 변수라면 정의역이 (-∞~∞) 의 범위를 지니므로 f(x)에 대한 치역이 같은 함수입니다. 

⑧ ∫(-a~a)f(x)dx = 0
∫(-a~0) = -∫(0~a)
위에서 설명하는 함수는 기함수와 우함수가 맞으나,
①과 맞물려서 사용되면 조금 다른 용도를 지닙니다.
ex)
(-1~1)∫(x³+x²+x+1)
= ∫(x³+x) + ∫(x²+1)
= 0 + 2∫¹₀(x²+1)

어째서 홀수의 지수를 모으면 기함수가 되는가 에 대해서는 삼차함수를 참고합시다.
그래프 모양의 특성상 로그,무리,지수함수에는 위의 식이 적용되지 않습니다.

 

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2.응용

가독성을 위해서 일부 (a~b)∫{ ƒ(x) }dx 는 (a~b)∫ 로 작성되었습니다.

 

[확장 지식]

 

끝값의 변수에 임의값 대입

(a~x)∫{ ƒ(t) }dt=x²-4x

이때 양변에 x=a를 대입하면

(a~a)∫ƒ(t)=0 이므로

a²-4a=0

 

 

끝값 변수와 적분변수 d값이 같을때

ƒ(x)=(-1~x)∫{ ƒ(x) }dx일때 x=-1을 대입하면 ƒ(-1)=0

 

 

적분의 성질에 의한 값 추정

(-2~2)∫=(-2~0)∫=(0~2)∫ 를 만족하는 ƒ(x)는

(-2~2)∫=(-2~0)∫+(0~2)∫ 이므로

이를 만족하는 ƒ(x)=0

 

 

절대값의 기함수

 

x|x|그래프

 

|x|는 우함수일때

x|x|는 기함수이기 때문에

(-2~2)∫{ x|x| } = 0 가 성립합니다.

x가 곱해질 때마다 기함수와 우함수가 반복되는 이유는

x가 음수일때 x(음수)×|x|(양수)가 성립해서 치역이 아래로 떨어지기 때문입니다.

 

 

홀수함수의 곱

ƒ(x)=ƒ(-x)일때 우함수, 

n=홀수 일때 xⁿƒ(x)는 기함수

즉, 홀수 함수를 곱했을때

(-a~a)∫(x³-x)f(x) = 0×F(x) 가 성립합니다.

 

 

기함수 정리에 의한 범위 축소

g(-x)= - g(x)일때 기함수,

(-2~3)∫ = (-2~2)∫+(2~3)∫ = (2~3)∫

 

 

홀수함수 정리에 의한 범위 확대

중심점이 x=½인 ƒ(x) 에 대하여 ∫(0~1)=0 이 성립한다면

(1~10)∫ = (0~1)∫+(1~10) = ∫(0~10)∫

 

 

짝수함수 정리에 의한 범위 변동

중심축이 -1인 좌우 대칭함수 f(x)에 대하여

(-2~2)∫ = ∫(-2~-1~0)∫+(0~2)∫ = 2∫(-2~1)+∫(0~2)

 

 

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[기본]

 

①

∫₁³+∫₂⁴+∫₂³ 

= ∫₁³-∫₃²+∫₂⁴ 

= ∫₁²+∫₂⁴

= ∫₁⁴

 

②

(9~10)∫ 

= (9~0)∫ + (0~10)∫ 

= (0~10)∫ - ∫(0~9)∫

 

③

(-2~1)∫+(-1~2)∫

= (-2~0)∫+(0~1)∫+(-1~0)∫+(0~2)∫

= ∫(-1~1)+∫(-2~2)

 

④

(-a~a)∫{ 5x⁴+3x³-7x-1 }dx

= ∫{5x⁴-1}+∫{3x³-7x}

= (0~a)2∫{5x⁴-1}

 

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[풀이]

 

t로 치환한 홀수함수

ƒ(x)=x³-2x + ∫⁴₀{ ƒ(t) }dt

∫⁴₀{ ƒ(t) }dt = k 라 하면

ƒ(x)=x³-2x+k

F(t)=∫(t³-2t+k)

F(t)=k

F(t)=∫⁴₀{ ƒ(t) }dt

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[테크닉]

 

변수에대한 범위

(1~3)∫{ f(t) }dt = (1~x)∫{ f(t) }dt + (x+3)∫{ f(t) }dt