[미분 未完] 속도의 변화율

 

부제목에 未(미)가 붙은 이유는 고2 과정에 대한 미분은 끝냈지만 미적분은 고3에 완성되기 때문입니다.

 

본 내용은 정규 과목에서 고2 도함수의 활용 마지막 단원에 배우는 내용입니다.

내용 자체가 실 사용과 관련있기 때문에 실사용 예제는 그중 대표적인 3개만 추려봤습니다.

 

부록에는 과정에서 제외한 설명이 접혀있습니다.

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1.개념

 

[거리와 속도]

 

1.백터와 스칼라

 

백터 : 크기와 방향

변위 : 시작점에서 끝점 까지의 두 점을 기준으로 하는 일직선 변화

 

스칼라 : 크기

이동거리 : 총 크기 , 두 점까지의 거리에서 실제로 사용하게된 경로

 

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2.속도와 가속도

 

속도 v(t) : 변위 ÷ 걸린시간 , 변위의 순간 변화율 (변위 시간 그래프의 미분)

속력 : 이동거리 ÷ 걸린시간

가속도a(t) : 속도 그래프의 미분 v'(t) , 속도에 가해지는 순간의 힘

 

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3.그래프 읽기

 

①시간 - 거리 그래프

 

 

기본적인 그래프의 읽기는 여기를 참고해주세요.

 

속도 그래프는

거리-시간 그래프가 아니라

변위-시간 그래프를 기준으로 합니다.

 

여기에서 말하는 변위란 위의 일직선 일차함수가 아니며

이동거리를 기준으로

t=0 에서부터 t=k 까지의 변위,

t=0 에서부터 t=k+Δ까지의 변위

t=0 에서부터 t=k+2Δ까지의 변위들의 직선거리를 모아서 그려내는 그래프를 의미합니다.

 

 

②시간 - 변위 그래프

 

위의 거리시간 그래프를 변동한 그래프가 아닙니다.

 

기울기가 가파른 모습일 수록 그 순간의 변위의 변화 폭이 커질 것입니다.

즉, 변위 그래프의 기울기와 빠름은 서로 비례하므로

변위 그래프를 미분해서 기울기에 대한 그래프를 그리면 속도라고 할 수 있을 것입니다.

 

 

③시간 - 속도 그래프

 

속도 시간 그래프 입니다.

 

변위 시간 그래프의 도함수 입니다.

 

 

움직이는 사물의 개념에서는 멈춤과 움직임의 개념만 존재합니다.

움직임의 폭이 일정한 물체가 어떤 방향으로 움직일때

동쪽으로 1m 를 움직였을때의 속도가 1이라면

서쪽으로 1m 를 움직였을때도 속도는 1입니다.

 

움직이던 방향과 반대의 방향으로 움직였을때

도함수는 음수의 값을 지니지만

속도의 개념에서는 방향이 아닌 움직임의 폭만 보기때문에

시간-속도 그래프는 시간-속도 도함수의 |절대값|의 형태를 띕니다.

 

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4.사용시 주의점

 

①x=t 로 쓰이므로 y=x의 좌표 평면과 치역을 헷갈리지 않도록 주의합니다.

 

②시간 t는 음수가 존재할 수 없으므로 t≥0

 

③시간-변위 그래프의 극값은 역방향이 되는 전환점을 뜻합니다.

 

④물체의 속도가 정말로 줄어 드는 것인지, 아니면 방향의 전환인지

x축 움직임에 대한 도함수 그래프 하나로는 알수 없습니다.

만약 속도가 일정한 물체가 방향을 바꿔서 속도 도함수가 감소했다면

y축 움직임에 대한 도함수는 증가할 것입니다. (z축이 될수도 있습니다.)

 

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5.변화율

 

미분값은 속도 그래프처럼 각종 개념의 변화율의 의미로 사용될 수 있습니다.

 

길이 : dL(t)/dt

넓이 : dS(t)/dt

부피 : dV(t)/dt 

※속도의 v는 소문자입니다.

 

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2.응용

 

[확장지식]

 

포물선의 속도

위로 던지는 포물선에선 속도가 0인 구간이 최대 높이가 됩니다.

높이=0인 구간은 시작점의 속도와 떨어진 순간의 속도를 의미합니다.

 

 

가속도=0

가속도가 0인구간의 좌표는 v'(t)=0으로도 구할 수 있지만

속도그래프의 극한 좌표 지점을 의미하기도 합니다.

 

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[풀이]

넓이 응용

t초후 반지름이 10일때 S=100t²π

변화율 S'(t)=200πt

 

 

서로 반대로 움직이는 t의 범위

실제의 속도가 일정한 물체 P,Q 의 경로가 어느순간 서로 반대방향으로 움직이는 시간의 범위는

도함수상에서 (p의 v(t))(q의 v(t))<0 에 해당합니다.

 

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[기본]

 

x=t 읽기

x=t²-9t+6 는 변위 거리 x를 t의 값에 대해서 표현한 그래프입니다.

이때 속도는 f'(t) 가속도는 f"(t)가 됩니다.

 

 

속도그래프 읽기

-2≤v(t)<1 이라 할때 속도 변화치는 1보다 -2가 더 큽니다.

속도의 최소는 0이므로 0≤|v(t)|≤2, 즉, 범위내의 속도의 최대값은 2가 됩니다.

 

 

서로 속도가 같아지는 시간

두점 p,q의 속도가 가 같아지는 시간 t는 vp(t)=vq(t)에 의한 교점값이 됩니다.

 

 

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[실사용 예제]

 

1.거리

ƒ(x)=x² 위에 존재하는 동점 P(t,t²)와 정점Q(3,0)사이의 유클리드 최소 거리를 √g(t) 라고 할때

g(t)=(t-1)(2(t+½)²+5/2) 에서 2(t+½)²+5/2 를 h(x)라고 하겠습니다. 

이때 g(t)>5/2 이므로 g(t)의 근은 허근입니다.

그러므로 t=1일때 최소값이 됩니다.

g(1)=5일때 최소거리는 √5 입니다.

 

 

2.넓이,부피

입체도형의 넓이에 대해서 제한된 공간의 너비가 0<a<2 일때

넓이를 S(a)=-2a³+8a 라고 잡고 (0<a<2)에서의 범위내 최대값은 극값 아니면 끝값입니다.

S'(a)=0 를 만족하는 극값의 좌표가 2√3/3 라고 하면

넓이의 최대값은 S(2√3/3)입니다.

 

 

3.속도 

이동거리 z 당 드는 비용이 f(x) 이때 운행요금을 a원 받는다면 

a>f(x)에서 a-f(x)>0. 

f(x)가 고차식이면 x>0에서의 극값이나 끝값을 확인하여 비용을 상정합니다.

 

 

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부록

 

주어진 조건에서 함수 항 추정하기{난독 주의}

 

문제를 풀고싶다면 먼저 문제의 식이 무엇인지 부터 알아내라는 의도로 악용됩니다.

작자는 해당 풀이들이 실사용에 어떤 의미가 있는지를 모르겠습니다.

난잡한 내용이기 때문에 그 중에서 몇가지 예시만 보겠습니다.

 

CASE1:

f(0)+f'(0)=0

 

3차식을 x³+bx²+cx+d 라고 가정하여 도함수는 3ax²+2bx+c 

이므로 상수항 c+d=0이며
이때 g(x)=f(x)+f'(x)라고 가정한다면

g(x)=x³+(a+3)x²+(2a+b)x 로 정리됩니다.

 

CASE2:

ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)-xy이 만족하고 ƒ'(1)=3 일때 

 

ƒ'(1) = ƒ(1+h)-ƒ(1)/h =3 → ƒ(1)+ƒ(h)-1*h-ƒ(1)/h 

= {ƒ(h)/h}-1=3 

→ƒ(h)/h=4,

ƒ(h)/h 는 ƒ'(x) 이므로 ƒ'(1)=3 을 만족하기위한 도함수는

ƒ'(x)=4-x

 

CASE3:

ƒ(x)가 일차함수일때 ax+b 라고 하여 대입한 결과가

a²x+ab+b=(½a-2)x²+(b+15)x+5

이때 동류항에의해 0=½a-2 , ab+b=5 이므로 

a=4 b=1

 

CASE4:

f'(x){f'(x)}=f(x) 에서 f(x)를 구한다면 

2차식 ax²+bx+c와 f'(x)=2ax+b를 대입해서 x에대한 0등식으로 정리

한뒤 x=1을 대입하면 위의 CASE3처럼 정리됩니다.

 

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미분 未完