[미분] 삼차함수와 사차함수

 

본 과정은 미분과의 직접적인 관계가 있는 과정이 아닙니다.

그러나 삼차함수과 사차함수를 설명하기 위해선 도함수와 극값에 대한 정보가 필요하기 때문에

정규 과목에서 미분 과정중에서 삼/사차함수에 대한 내용을 도중에 끼워놓았습니다.

 

이전 과정에서 배운 삼차방정식에 대한 설명(특히 근과계수의관계)는 여기에서 볼 수 있습니다.

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1.개념

 

[삼차함수]

 

1.삼차함수 항의 구조 {비정규과정}

Ax³+ax²+bx+c 

A=기울기 : 양수일때 증가모양을 지닙니다.

a=비틀림 : 값이 0에서 멀어질수록 극값간의 거리가 커집니다.

b=중앙기울기 : 기울기 방향은 양수일때 증가방향, 음수일때 감소방향입니다.

c=상하 평행이동 : 정확한 이동값은 완전제곱식으로 나타내야 알 수 있습니다.

 

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2.삼차함수의 근의 범위

 

①실근이 3개

 

삼차함수의 실근이 3개 일때

극대×극소<0 가 됩니다.

 

②실근이 2개

 

삼차함수의 실근이 2개 일때

극대값 혹은 극소값이 0 이므로 

극대×극소=0 이 됩니다.

 

③실근이 1개

 

삼차함수의 실근이 1개 일때

극값이 존재하지 않거나

두 극값의 부호가 같으므로 극대×극소>0 가 됩니다.

 

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3.삼차함수의 중근과 허근

 

인수분해로 근을 구할 때 모든 근을 구할 필요가 없을 수 있습니다.

예를 들어서 (t+1)(t²-2t+2)=0 이라고 한다면

t²-2t+2는 완전제곱식에서 (t-2)²+2 입니다.

(t-2)²+2 를 0으로 만들 수 있는 t의 값은 존재하지 않으므로 허근입니다.

이때 실근은 t=-1 한개가 됩니다.

 

이 과정의 특징에 의해서 삼차함수가 허근을 지닌다면 반드시 2개가 되며

근이 지닐 수 있는 경우의 수는 다음과 같습니다.

 

①실근이 3개

실근 3개를 지닙니다.

 

②실근이 2개

중근 1개를 지닙니다.

ex. (x-2)²(x+1)

 

③실근이 1개

허근 2개를 지니거나 삼중근을 지닙니다.

ex. (x-2)³

 

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4.삼차함수와 기함수

 

만약 삼차함수의 중심점을 알고있다면

그 중심점 t에 대해서 ƒ(t+1)=-ƒ(t-1) 의 성질을 지닙니다.

 

만약 삼차 함수가 기함수라면

※본래 기함수라는 표현은 원점대칭만을 의미합니다.

비틀리면서 중심이 상향 , 하향되는 ax²

상하 평행이동을 의미하는 c 의 값이 0 이므로

그 구조는 Ax³+bx 가 됩니다.

 

기울기에 대한 그래프는 평행 이동과 관계 없으므로

도함수는 기함수의 여부에 상관없이 

ƒ'(x)=ƒ'(-x)의 우함수가 됩니다.

 

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[사차함수]

 

1.그래프 형태

 

사차함수는 2차함수와 마찬가지로 양수일때 위쪽을 음수일때 아래쪽을 향합니다.

(x²-1)² 같이 지수 2에 대해서 그래프로 표현하면 그 모양은 이차함수가 됩니다.

 

 

2.극값의 범위

 

①극값이 1개

 

삼중근 혹은 허근2개 일때 하나의 극값이 그림과 같이 수평해지기 때문에 

극값이 1개가 됩니다.

 

 

②사중근

 

사중근일땐 좌우 두개의 극점이 수평해집니다.

즉, 하나있는 극점에 도착까지 기울기가 (x→0) 가 되는 수평한 구간이 넓어집니다.

 

이것을 극값 이라 칭할 수 있는가에 대해서는 현재의 작자로써는 모르겠습니다.

 

 

③극값이 2개

극값이 2개가 될 수 없습니다.

 

④극값이 3개

사중근과 ①의 경우를 제외한 나머지는 극값은 3개 지닙니다.

 

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3.사차함수의 근의범위

 

그래프로 설명하자니 모양에 대한 경우의 수가 많아 아래의 정리로 통합합니다.

 

4.극값이 근의 크기 순으로 +a,-b,+c 혹은 -a,+b,-c 일때 근은 4개입니다.

 

3.양의 사차함수를 기준으로 극대가 0이면 3개입니다.

※반대로 극소가 0일땐 1,2,3개의 경우의 수가 존재합니다.

 

2.양의 사차함수를 기준으로 모든 극값이 음수일때 2개입니다. 

 

1.이 외의 상황일 경우 그래프를 그려서 x축과 비교해야 합니다.

 

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4.사차함수의 도함수 그래프

 

w모양의 사차함수는 감소 증가 감소 증가를 지닙니다. 

극값 3개에 대해서

극소는 위→x축→아래

극대는 아래→x축→위 만 생각하면 됩니다.

 

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2.응용

 

[추가지식]

 

양의 사차함수가 극대를 지니기 위한 조건

양의 4차함수가 극대를 지니기위해선 

도함수가 서로다른 3개의 실근을 지녀야하므로

두가지의 조건을 지닙니다.

 

①도함수인 삼차방정식을 인수분해후 나온 2차식은 D>0 를 만족해야 합니다.

②이차식은 중근이아니며 , 이차식 밖의 다른 인수와 겹치지 않아야 합니다.

 

 

삼차식이 극대나 극소가 없기위한 조건

실근이 1개이기 위한 조건과 같습니다.

허근2개 혹은 중근 이며

만약 중근을 기준으로 잡는다면

(x+1)(중근) , (x+1)((x+1)(ax+b)) 두가지 경우의 수가 있습니다.

 

 

삼차함수의 중근 확인하기

양의 삼차함수가 중근 일때 ƒ(x)=ƒ'(x)=0

ƒ(x) = x³-3x+k 에 대해서

ƒ(x) ÷ (x-a)ⁿ = 0 (삼중근일지 , 일반 중근일지 알수 없기 때문에 지수는 n 입니다)

나머지 정리에 의해서 f'(a)=3a²-3=0 ,

 

도함수의 인수분해로 a를 구한뒤에 ƒ(a)로 대입하면 상수항 k가 나옵니다.

혹은 상수항이 존재하는 삼차함수에 적용해서 ƒ(a)=0이 만족하지 않으면 중근이 아닙니다.

 

 

극값을 지니기 위한 도함수 조건

f'(x)=2(x²-a)일때 a<0 일때 결과값이 0이 될수 없으므로 허근이됩니다. 

그러므로 a>0 일때 함수가 극값을 지닙니다.

 

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[풀이]

 

직선과 삼차식의 교점의 범위

직선과 3차방정식이 한점에서 만나려면 근이 1개일 필요가 있으므로

두 근이 허근이거나 삼중근이여야 합니다. 

 

{-1/k+1}(x-1)=x(x-1)(kx+1)에서

(x-1)(kx²+x+1/(k+1))=0 으로 묶었을때

2차식은 완전제곱식에 의해 (x-1)²로 표현이 불가능한 일차항 계수를 지니므로

이차식은 허수입니다. (판별식 D<0)

 

 

세 실근을 지니기 위한 상수항의 범위

ƒ(x) = x³-3x²-9x+k , 두 극값의 x좌표가 -1,3

삼차함수가 세실근을 가지려면  f(-1)f(3)<0 

이므로 (k+5)(k-27)<0 의 범위를 지닙니다.

 

 

사차함수의 교점이 3개가 되는 y지점

3x⁴-8x³-6x²+24x

와 y=k의 교점이 3개이므로

f(x)의 극값이 -19,13,8 일때 k=8 또는 13

-19는 최소값이라서 교점이 1개가 되어버립니다.