[적분] 그래프의 면적 (+기하평균)

 

앞서 수열에서 조화평균을 다뤘고 이전에 산술평균은 다뤘으나

적분이 고2 마지막 과정이고 기하와 백터를 앞으로 다룰지 알 수 없기 때문에

넓이를 다루는 이번 단원에서 기하평균에 대한 설명도 같이 추가했습니다.

 

이번 단원은 그래프 모양 해석능력이 기본이 됩니다.

직접 그 요소를 찾아내는 능력이 중요한 단원이기 때문에

작자가 작성하는 내용은 그중에서도 모르면 조금 난잡할 수 있는 과정들만 소개합니다.

 

컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두 가지 작성 규칙을 둡니다.

1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다.

2.미지수 작성에 한계가 있을때 (-a~a)∫{ f(x) }Δx로 작성합니다.

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1.개념

 

1.적분에 의한 넓이

 

①함수와 x축사이의 넓이

 

범위에대한 정적분으로 구합니다.

위의 그래프를 기준으로

두 x교점을 중심으로 x축>함수 인 부분은 음수가 되므로

양의 넓이 - (음의넓이) 를 통해서 

총 면적을 구할 수 있습니다.

혹은 y=|ƒ(x)|의 면적을 구하는 방법도 있습니다.

 

 

②일차함수에 대한 그래프

 

 

일차함수, 절대값 일차함수는 직접 그려서 삼각형의 넓이를 구합니다.

두 범위를 a,b 라고 할때 x축과의 교점에 대해서

a-x의 너비와 ƒ(a)의 높이를 지닌 삼각형,

x-b의 너비와 ƒ(b)의 높이를 지닌 삼각형이 존재합니다.

넓이의 값이 음수인 경우 양수로 바꿔서 합산합니다.

 

 

③두 그래프 사이의 넓이

 

 

두 함수의 교점사이의 넓이는 f(x)=g(x) 을 f(x)-g(x)=0 으로 바꿨을 때

f(x)-g(x)의 교점들 사이의 넓이가 됩니다.

 

이때 f(x)-g(x) > x축 인 구간이 양의 면적

f(x)-g(x) < x축 인 구간이 음의 면적이 되므로 

양의면적 - 음의면적으로 넓이를 구할 수 있습니다.

 

교점의 갯수에 따라 넓이는 반드시 음과 양이 교차됩니다.

즉 , 교점이 4개일때 넓이는 양,음,양 혹은 음,양,음 일 것입니다.

 

만약 f(x)-g(x) 가 삼차함수이며 최고차항이 양수이며 근이 2개라면

이때 넓이 값은 교점에 따라서 음→양 의 순서를 지닐 것입니다.

 

접선일경우 두 그래프의 교차가 존재하지 않으므로

∫f(x)-g(x) 를 ∫g(x)-f(x)로 변경할 구간이 없습니다.

 

만약 교점이 두개이며 적분의 합이 0이라면

교차된 두 지점간의 넓이는 서로 같을 것입니다.

 

 

④역함수간의 넓이

 

 

역함수는 y=x에 대하여 혹은 y=-x에 대하여 대칭하므로

양수일때 기준으로 y=x과 ƒ(x) 간의 교점 사이의 넓이 x 2 가 됩니다.

 

 

⑤y축에대한 넓이

 

 

위의 넓이는 ∫{ ƒ(y) }Δy 의 적분을 통해서도 구할 수 있습니다.

다만 이 경우 식을 y=ƒ(x) 의 형태에서 x=ƒ(y) 형태로 바꿀 필요가 있습니다.

 

만약 작자라면 위쪽 경계선을 y=a, 아래쪽 경계선을 y=b라고 할때

(0~a의 교점위치)의 ∫{ ƒ(x) }Δx 에 대한 정적 분으로 아래쪽의 x축과의 면적을 구한뒤

교점 a까지의 사각형의 넓이에서 빼겠습니다.

 

남는 부위도 (0~b의 교점위치)에대한 정적분을 구한뒤 교점b 까지의 사각형에서 빼서 구합니다.

 

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2.공식에 의한 정리 {암기}

※이에 대한 증명에 고3의 부분적분이 들어가므로 깊게 설명하진 않습니다.

 

①2차함수의 두 근 사이의 그래프 면적

 

 

(b~a)∫{ a(x-m)(x-n) }dx를 전개한 식입니다. 

 

 

②삼차함수의 극대값-극소값

 

 

두 교점사이의 넓이가 F(b)-F(a)를 의미 한다는 것을 가정할때

도함수 ƒ'(x)에 적용하면 ƒ(b)-ƒ(a) 가 됩니다.

여기에서 도함수의 두 근 a, b는 삼차함수의 극값의 지점을 의미하므로 

3차식의 미분은 3a, 여기에 ①을 대입하면

즉 3|a|(b-a)³/6에서 3과 6을 약분하면 위의 값이 나옵니다.

 

 

③x축에 접하는 4차함수 의 두 근 사이의 면적

 

 

②와 같은 원리를 지닙니다.

 

 

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3.기하평균

 

 

사각형의 너비와 높이를 a,b 라고 할때

사각형의 넓이는 ab 가 됩니다.

 

그리고 같은 넓이를 지닌 정사각형을 구한다면

이때 한변의 길이는 √ab 입니다.

 

여기에서 길이에 대해서 음수는 존재할 수 없으므로

a>0 , b>0가 전제 조건이 됩니다.

 

즉 , 산술평균 ≥ 기하 평균이란

서로 넓이가 같은 사각형 간에

직사각형의 모양과 정사각형의 모양이 있다면

직사각형의 변의 길이의 평균 a+b/2는

반드시 √ab 보다 클 수밖에 없다는 의미입니다.

 

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2.응용

 

[확장 지식]

 

절대값의 교점사이 넓이

두함수 y=|2x|-1과 y=x 를 

|2x|-1=x로 둘때

두 근을 A,B라고 하면

∫(B~½) + ∫(½~A) 로 값을 구합니다.

½를 기점으로 y=-2x-1 , y=2x-1로 분기되기 때문입니다.

 

 

근의 범위를 넘어선 면적

 

 

교점밖의 범위에서의 두 그래프 사이의 면적은 그림과 같습니다.

 

범위에 의해서 y축의 결계가 존재하므로 경우에 (예를 들어서 초록선) 

y축을 기준으로 하는 적분 결과와 같은 결과가 나오기도 합니다

 

 

주기함수에의한 넓이 추정

※이전에도 다룬 적이 있으므로 간단히 설명합니다.

 

ƒ(x+3)=ƒ(x)

∫(1~4)=2 일때 

∫(1~4)=∫(4~7)=∫(7~10)이므로 

∫(1~10)=3*2

 

 

비를 통한 추정의 주의점

 

 

양의넓이A와 음의넓이B가 1:-2일때

A:½B = 1: -1

 

그러나 그것이 곧 1:-1을 만족하는 x의 값이

B의 두 x교점 사이의 중앙 지점을 의미하는 것은 아닙니다.

 

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[기본]

 

근 사이의 면적

y=x²(x+2) 의 두 근은 사이는 면적은 

(-2~0)∫ 이므로

F(0)-F(-2)=4/3

 

 

삼차함수의 근 사이의 면적

x(x+2)(x-2)=0에 대해서 

(-2~0)∫ - (0~2)∫= 8

 

 

중근에 대한 면적

(-1~a)∫4x³ 일때 근 x=0에 대하여 

(-1~0)∫ + (0~a)∫ 

 

 

기함수 우함수

(x+3)(x-3)=0에서 좌우가 같은 우함수 이므로 (-3~3)∫일때 = 2(0~3)∫

 

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[풀이]

 

삼중 교차하는 범위의 넓이

 

 

(a~p)∫{f(x)-h(x)}

+(p~b)∫{g(x)-h(x)}

 

 

접선의 방정식과 축의 최소넓이

 

 

x절편과 y절편이 같을때 최소가 되므로

접선의 방정식은 y=x+C 혹은 y=-x+C (c는 임의의 상수항) 가 될 것입니다.

 

즉 , ƒ'(x)=1 을 만족하는 x값을 구한뒤 상응하는 y를 구합니다.

이를 토대로 직선의 방정식을 그리고

x절편과 y절편에 의한 삼각형의 넓이를 구합니다.

 

 

무리함수의 역함수에대한 적분

 

 

무리함수의 역함수의 적분은 사각형-원함수의넓이가 됩니다.

 

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[심화]

 

접선의 방정식과의 최대 최소 넓이

(t,f(t))의 접선의 방정식과 특정 그래프를 연립하여 

적분하면 정적분을 진행할때 미지수 중에 x가 소멸하고 t에대한 식만 남습니다.

완전제곱식으로 (t-a)²+k로 넓이의 최대 최소값 k를 구할 수 있습니다.

※실제로 해보면 식 계산이 매우 난잡하기 때문에 심화로 넣었습니다.

 

 

넓이의 미분을 통한 최대 최소 넓이 (t가 3차식 이상일때)

위의 예시로 0~2의 범위의 정적분을 구한 넓이의 값이 ⅓t³-2t+8/3 라고 할때

넓이의 미분값은 S'(k)=(t-√2)(...) , 

t는 0~2사이에 존재하는 근이므로

k=2, k=0 과 비교했을때 극소인 k=√2 의 대입값이 가장 작으므로 

t의 최소값은 √2 입니다.