순열과 조합

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경우의 수와 확률

순열과 조합의 모든 개념 이해는 중학교 과정에서 배운 경우의 수와 확률 과목과 동일합니다.

그래서 그 과정들을 각각 어떤 이름으로 부르는가 정도만 새롭게 배우기 때문에

위의 과목을 제대로 이해 하셧다면 순열과 조합 과목을 이해없이 바로 넘어갈 수 있습니다.

 

순열과 조합을 끝으로 고1 과정이 마무리됩니다.

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1.순열

 

 

순열은 일정 갯수만큼 한정된 자원을 뽑아서 순서대로 줄을 세우는 것을 의미합니다.

그러므로 순열에서는 같은 정보가 중복되어서 줄에 세워질 수 없습니다.

 

1)순열의 기호

 

 

5개 중에서 5개를 뽑는 모든 순열의 갯수는 5x4x3x2x1 이 됩니다.

이때 5x4x3x2x1 은 5! 라고 줄여서 표기할 수 있으며

5팩토리얼 혹은 5의 계승 이라고 합니다.

 

 

5개 중에서 3개를 뽑는 순열의 갯수는 5x4x3 이 됩니다.

이를 기호로 표현하면 nPr 이 되며 P는 Permutation(순열) 을 뜻합니다.

n의 값은 데이터의 갯수를 의미하며 r은 그 중에 뽑는 갯수를 의미합니다.

 

0!=1 이라는 수학적 정의가 있습니다.

만약 뽑는 갯수가 r=0 이라면 공식에서 n! / n!=1 이므로 그렇게 정의 됩니다.

 

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2.조합

 

 

한정된 자원을 5개 뽑되, 순서 상관없이 종류만의 경우의 수를 조합이라고 합니다.

순열과 같이 같은 정보가 중복되어서 줄에 세워질 수 없습니다.

 

1)조합의 기호

 

 

조합(Combination)은 nPr 에서 r! 를 나누어서 구할 수 있습니다.

n은 데이터의 갯수,  r은 그 중에 뽑는 갯수입니다.

 

 

nCr = nCn-r 부분은 위의 중학교 과정에서 설명한 적이 있습니다.이를 응용해서 ₃C₂=₃C₁ 라고 할수도 있습니다.

 

붉은 표시로 표기한 부분의 이해를 위해서 설명하자면,

₃C₂ 는 C가 가진 요소들 4개중에 a를 빼고 3개중에 2개를 뽑는 모든 경우의 수 입니다.

₃C₁ 은 C가 가진 요소들 4개중에 a를 반드시포함하고 뽑힌 2개를 제외한 나머지 1개를 뽑는 경우의 수입니다.

즉, a를 빼고 뽑은 것과 a를 포함하고 뽑은 경우의 수를 합치면 4개중에 2개를 뽑는 거랑 같아질 것입니다.

 

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3.집합과 경우의 수

 

1)관련 용어

• 시행 : 우연/행동이 일어나는 원인
• 사건 : 특정 조건의 부분집합
• 표본공간 : 모든 결과들의 집합

 

2)경우의수의 조합

 n(A)+n(B)-n(A∩B)=n(A∪B)

합의법칙 : A또는B처럼 동시 발생하는 사건이 아닐경우 경우의 수는 합산이됩니다.

단, 교집합(서로 동시에 가지고있는 사건들)이 존재할 경우 교집합을 한번 빼야합니다.

 

곱의법칙 : A후에B가 연달아서 발생할때 그 가짓수는 곱이됩니다.

앞서 중학교 과정에서 동전을 연속으로 던지는 경우의 수를 설명할 적이 있습니다.

 

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4.응용

 

공식 풀이라던가 패턴이 존재하지 않고 직접 머리를 써서 풀어야 돼는 과정이기 때문에 

이번엔 몇가지 문제의 예시를 나열했습니다. 

대략 어떤 문제풀이를 하게 돼는지 감을 잡을 잡아봅시다.

 

A1)A 5개의 원소중 1개가 B에 1대1로 대응하고 남은 원소들은 2대1로 대응하는 집합의 갯수는?

(,단 n(A) = n(B))

>1대1의 경우의수 → 5

>이를 제외한 4 : 4 일때 b가 4개중에 2개를 가질수 있는 순열 4x3/2x1 →  6x5

>앞에서 2개를 고르고 다음 순서의 b가 가질수 있는 순열 2x1/2x1 → 1x6x5

>n(A) 갯수중에  n(A/2) 갯수를 뽑는 순열 4x3/2x1 → 6x1x6x5

>180

 

A2)a와b로 이루어진 4자리 비밀번호에서 a다음엔 무조건 b만 올수있다고하면 경우의 수는?

>a가 1개인 조합 + a가 2개인 조합  + a가 0개인 조합

 

A3)집합 A,B,C,D에 요소가 3개씩있고, abcd 조합의 그룹을 3개를  만들 경우의 수는?(단,그룹의 순서는 상관x)

>a는 미리 한명씩 배치되어있다고 판단하여 B!xC!xD!의 갯수만 파악한다.

 

A4)남학생이 2명 여학생 1명이 있는 그룹에서 줄을 세울때 여학생이 가장 앞에있을 경우의 수는?

>남학생이 2명을 m₁,m₂ 그리고 여학생을 w 라고 판단해서 보면 {m₁,m₂,w} , {m₂,m₁,w}

 

A5)n개/명 이상

>순열/조합에 쓰이는 요소가 2개뿐만 아니라. 3개일때, 4개일때의 집합내의 최대 범위까지 구하시오. 

 

A6)100개중에 2개를 뽑는 조합의 수는?

>1.10개씩 지닌 10개의 집합으로 취급한다.

>2.한집합에서 두개를 뽑는 경우의수들의 합 + 두집합에서 한개씩 뽑는 경우의 수로 구할수 있다.

 

A7)집합 A와 집합 B 에서 2개씩 뽑아서 4자리의 서로다른 숫자를 만드는 경우의 수는?

>A의 순열(C) x B의 순열(C) x 4!(조합P)

 

A8)nP₃=12 × nC₂를 만족하는 자연수의 n 은?

>nC₂ = n(n-1)/(2x1) → nP₃ = 6 x n(n-1)

>nP₃ = n(n-1)(n-2)

∴ 6 x n(n-1) = n(n-1)(n-2)

 

A9)(n+1)!/(n-1)!

>(n+1) x n x (n-1) ... / (n-1) ... = n(n+1)