무리함수와 유리함수의 그래프

 

+2022-11-16 수정됨

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1.무리함수

 

1)정의와 함수식

 

 

무리함수란 x에 근호가 씌여져있는 함수를 의미합니다.

y=√x 는 이차함수 y=x² 에서

x가 양수일때의 그래프 모양의 역수의 형태를 지닙니다.

 

 

 

꼭지점 (p,q) 는 무리함수 x축으로 p , y축으로 q만큼 평행 이동한 값을 지닙니다.

p는 √(ax+b)를 √{a(x+b/a)}로 바꿨을때의 값을 의미합니다.

q는 근호 밖의 값들인 c를 의미합니다.

a는 값이 높을수록 기울기가 x축에서 멀어집니다.

 

꼭지점(p,q)를 기준으로 함수의 범위를 조건 제시법으로 작성하면

X = {x|x≥p} , Y = {y|y≥q}로 표현됩니다.

여기에서 X는 정의역 , Y는 치역이됩니다.

 

 

2)그래프 개형

 

 

근호 외부에 - 부호가 붙으면 x축으로 대칭한 모양이 됩니다.

근호 내부에 - 부호가 붙으면 y축으로 대칭한 모양이 됩니다.

 

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2.유리함수

 

1)정의와 함수식

 

 

유리함수는 k,x가 0이 아니라는 것을 전제로 합니다.

두개의 선형은 각자다른 두개의 그래프가아니라 하나의 유리함수 입니다.

여기에서 k 란 분자에 존재하는 ax+b 에서 x에 대한 항들을 정리한뒤에 남는 상수값을 의미합니다.

 

y=1/x 일때 f(1)=1, f(-1)=-1 이됩니다. 즉, 음수와 양수에 따라서 그래프가 서로 갈라집니다.

이를 토대로 그래프 그렸을때 유리함수는 0에 한없이 가까워지는 선으로 이루어진 그래프이며

그러므로 정의역 집합X와  치역집합Y는 0 을 제외한 모든 실수를 지니게 됩니다.

이 때, 한없이 가까워지는 기준이 되는 x축 혹은 y축을 점근선 이라고 합니다.

 

두 점근선을 p,q 라고하며 전체 실수를 R 이라고 할때

함수의 범위는 조건제시법으로

X = {x|x≠p, x∈R} , Y= {y|y≠p, y∈R} 

로 표기됩니다.

 

2)유리함수의 변형

 

①

 

②

 

 

3)그래프 개형

 

 

유리함수의 개형은 양수일 때와 음수일 때 사분면의 위치가 반전됩니다.

그 모양은 양수일때 y=x 축이나 음수일때 y=-x 축으로 대칭을 이룹니다..

 

 

유리함수의 분모는 3x+2 일때 정리하면 3(x+2/3) 로 표기됩니다. 

이때 위 그래프의 두 점근선의 위치는 x=-2/3 , y=2 가 됩니다.

k의 값이 클수록 중심점과 그래프의 거리가 멀어집니다.

 

그래프를 그릴때 중심점과 기준점을 찍어서 선을 서서히 점근선에 가까워지도록 그립니다.

기준점에 대한 예를 들자면

y=1/x 일때 (1,1)

y=2/x 라면 (1,2), (2,1)

y=½x 라면 (1,½),(½,1)

등의 기준점을 찍을 수 있습니다.

 

만약 꼭지점을 구해서 정확히 그리고 싶다면

양의 유리함수를 기준으로 y=x 와 유리함수의 교점을 구하는 방법이 있습니다.

 

Ex1)

 

 

유리함수에 대입하는 x의 값이 분수일 경우 분모와 분자를 뒤집은 값을 지니게 됩니다.

ex) y=1/x 에서 x=2/a를 대입하면 y=a/2가 됩니다.

 

Ex2)

 

 

그래프의 분자 분모가 정리되어있지 않은 미지수 형태의 함수입니다.

이때 점근선y는 a/c가 됩니다.