집합

집합은 문제보다 개념에 중점을 두고 설명하고 있습니다.

풀이라고 하는 것들이 사실상 숫자를 국어적인 뜻으로 해석하는 것과 다를바가 없기 때문입니다.

그러므로 다른 과목들과 달리 집합 만큼은 문제를 설명한다고 해결되지 않는 과목입니다.

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1.집합의 개념

 

①개념

 

1)

집합 : 명확하게 구분되어 공통점을 지닌 집단.

 

예를 들어서 이쁘다, 비싸다 같은 상대 평가적인 집단은 연속형 데이터로 나열했을 때 명확한 구분을 짓기 힘드므로 집합이라 할 수 없습니다.

반면에 각이없다, 만원이상 같이 기준점을 지닌 데이터들은 명확한 구분이 가능하므로 이때 생기는 집단을 집합 이라고 할 수 있습니다.

 

무한집합 : 갯수에 한계가 없는 집단입니다. (ex. 0이상의 모든 자연수) 

유한집합 : 갯수에 한계가 있는 집단입니다. (ex. x년도에 1학년 A 반에 소속한 모든 인원들) 

 

2)기호

a∈A

집합은 대문자의 알파벳을 사용해서 표현합니다.

 

또한 더 작은단위의 요소가 만약 집합 A 에 소속되어있다면

이때 위의 기호를 통해 a는 A의 요소 라는 것을 표현할 수 있습니다.

 

쉽게 설명하자면 1<2 일때 꼭지점이 가까운 숫자가 더 작듯,

a∈A 또한 A 보다 a가 더 작은 단위라고 생각하면 좋습니다.

∈ 는 영어로 Element(요소) 를 의미합니다. 그러나 A∋a 처럼 뒤집어서 쓸 수도 잇습니다.

 

 

A가 a,b,c,d,e 를 요소로 지니고 있을때 A는 f를 요소로 지니고 있지 않습니다.

이땐 ≠ 처럼 사선을 그어서 부정형으로 표현할 수 있습니다.

 

3)공집합

A = Ø

 

상자 A안에 들어있던 모든 과자들을 전부 먹었습니다.

이때 상자 A는 남아있지만 안의 내용물이 존재하지 않는 상태가 됩니다.

혹은 집합 A가 -1이하의 모든 자연수라고 하면 A의 값이 존재할 수 없을 것입니다.

이렇게 요소가 없이 비어있는 상태의 집합을 공집합이라고...

의미적으로는 그렇습니다만,

그보단 여러가지 경우들 중에서 비어있을 경우의 수 라고 생각하는 것이 좋습니다.

 

4)원소의 갯수

n(A) = 3

n(A)=3 일때 집합 A는 3개의 원소를 지니고 있습니다.

단, 집합의 요소들 중에서 서로 중복되는 값은 1개로 취급됩니다.

공집합에 적용해서 n(Ø)라고 작성했을때 값은 0이 됩니다.

 

④에 작성한 집합간의 관계가 적용되는 특징이 있습니다.

>

1.n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) 

2.n(A∪B∪C) = A+B+C - A∩B-B∩C-C∩A + A∩B∩C 

 

5)원소의 합

S(A)=3

A가 1,2라는 요소를 지니고 있을때

A 가 지닌 모든 요소들을 합하면 3이 될 것입니다.

 

④에 작성한 집합간의 관계가 적용되는 특징이 있습니다.

>

S(A)+S(B)-S(A∩B) = S(A∪B)

 

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②표기법

 

1)원소나열법

A={1,2,3}

중괄호안에 집합 A가 지닌 요소들을 작성하고 등식으로 표현하는 방법입니다.

작성하는 순서는 오름차순 , 내림차순에 상관하지 않습니다.

단 , 중괄호 안에 적히는 요소들은 요소들의 종류 를 의미하기 때문에

A={2,2} 같은 중복을 허용하지않습니다. 이경우 A={2}라고 표현됩니다.

A={1,2,3 ···, 100} , B={1,2,3 ···}

만약 중괄호 안에 존재하는 요소들이 일정한 규칙을 지니고 정렬되어 작성되어있다면,

중간, 혹은 끝에 ···를 작성하여 작성을 축약할 수 있습니다.

 

⑴집합 내부의 집합

A={1,{2,3}} , B={2,{2}}

원소나열법으로 작성할때 다른 집합의 단위를 내부의 요소로 작성할 수 있습니다.

이때 {2,{2}} 처럼 집합상태의 2와 일반 요소 2는 서로 다른 요소로 취급됩니다. 

또한 {{2}.{2}} 처럼 내부의 집합 또한 중복이 허용 되지 않습니다.

 

위의 예시에 A집합의 갯수 n(A)는 2가 됩니다.

집합 단위로 묶여있는 숫자들은 묶음 단위로 1개로 취급합니다. 

 

⑵공집합의 요소

A={Ø} , B=Ø

A={Ø}일때 A는 공집합을 원소로 가진 유한집합 이며 n(A) , n({Ø}) 는 1입니다,

한편 n(Ø) 는 0이 됩니다. 즉,

A={Ø,1,2,3}

으로 표현하는 것이 가능합니다.

여기에서 A={Ø,1,2,3} 과 B={1,2,3} 의 차이는

그냥 Ø을 숫자 0 이라고 생각하는 것이 가장 비슷합니다.

물론 숫자 0과 같다는 뜻이 아니지만 실제로 그렇게 사용됩니다.

 

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2)조건 제시법

A={x|f(x)} , B={x|x는 3보다 작은 자연수}

중괄호안에 {x| } 의 x에 대한 조건문을 작성해서 표현하는 방법입니다.

여기에서 x는 표현할수있는 모든 숫자들의 집합이며,

조건문은 모든 x들을 대입한 결과를 의미합니다.

 

n(B)의 값은 3이 됩니다.

 

 

'x|'의 자리에는 또다른 식이 들어갈 수 있으며 조건의 갯수에 제한은 없습니다.

 

조건 제시법은 작성자가 문제 작성으로 도움을 줄 수 없는 이유이기도 합니다.
그러므로 꼭 따로 문제를 풀어보시길 바랍니다.
위의 조건은 간단하게 설명해서 C ={x|x는 유리수} 라고 표현할 수 있습니다.

 

3)밴 다이어그램

 

 

밴 이라는 사람이 만든 다이어그램 이기 때문에 밴 다이어그램 입니다.

밴 다이어그램의 형태는 원 혹은 사각형이 사용됩니다.

 

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③집합의 영역

 

1)전체집합

 

 

전체집합은 모든 집합 요소들을 지니고 있는 가장 큰 배경의 집합을 의미합니다.

U(universal : 보편적인) 로 표기됩니다.

한편 실수 전체의 집합은 주로 R로 표기됩니다.

 

2)부분집합

 

 

A = {1,2,3,4,5,Ø} , B={4 5 Ø} 일때 B의 모든 요소들이 A에도 존재합니다.

이때 B 는 A의 부분집합이라고 하며 기호로

A⊂B

로 표기 됩니다.

모티브는 contian(포함하다) 입니다.

 

 

사선을 그어서 부정형태로 표현할 수 있습니다.

 

⑴포함관계

1. Ø⊂A  ,  Ø⊂B , Ø⊂U

모든 집합들은 기본적으로 공집합을 포함하고 있다는 것을 전제로 합니다.

앞서서 공집합을 경우의 수로 생각하라고한 이유입니다.

 

다만 Ø⊂A 와 Ø∈A 는 다릅니다.

Ø⊂A 에서 Ø 는 아무것도 들어있지 않은 집합을 의미한다면

Ø∈A 에서 Ø 는 A 집합안에 존재하는 0 이라는 하나의 요소가 포함되어있는가를 의미합니다.

2.A⊂B , B⊂C → A⊂C

c를 위의 밴다이어그램 의 u와 비교해서 살펴보면 쉽게 이해할 수 있습니다.

3.A⊂A

4.B⊂A , A⊂B → A=B

 

⑵부분집합의 갯수

A={1,{1,2}} → Ø, {1}, {{1,2}}, {1,{1,2}}

집합 A의 대한 모든 부분집합을 구한다면

그 갯수는 안에 들어있는 요소들이 지닐수 있는 모든 조합의 경우의 수를 가지게 됩니다.

이때 내부에 존재하는 집합은 하나의 요소로 취급합니다.

 

n(A)=4 일때 부분집합의 갯수는 2⁴ 가 됩니다.

 

⑵진 부분집합

A={1,{1,2}} → Ø,{1},{{1,2}}

부분집합에서 자기자신을 제외한 집합들을 의미합니다. 갯수는 2ⁿ-1 가 됩니다.

 

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④집합간의 관계

 

1)합집합

 

A∪B

두 집합의 요소들을 합쳐서 더 큰단위의 하나의 집합으로 통일합니다.

이때 집합은 중복을 허용하지 않으므로 중복되는 요소는 하나로 통일됩니다.

 

A⊂B 일때 (즉 A가 B의 부분집합일때) A∪B=B가 될 것입니다.

 

2)교집합

 

A∩B

서로 겹치는 부분만을 남깁니다.

조건제시법으로 N = {x|x∈A 이며 x∈B} 로도 표현됩니다.

A⊂B 일때 A∩B = A 가 될 것입니다.

 

만약 A∩B=Ø 라면 두 집합은 겹치는 요소가 존재하지 않는다는 의미입니다.

그리고 이렇게 겹치는 요소가없는 두 집합을 서로소 라고 합니다.

A∩Ø=Ø 또한 서로소로 취급됩니다.

 

3)여집합

 

 

집합 A 가 지닌 요소들을 제외한 나머지 요소들을 의미합니다.

 

 

특히 빨간색으로 강조한 부분들은 집합식의 변형에서 계속 쓰입니다.

 

4)차집합

 

A∪B - B

집합에서 B를 뺀다면 B가 가지고있던 요소들중 집합과 겹치는 부위들을 전부 제거합니다.

조건 제시법으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

다음과 같은 규칙을 지닙니다.

 

 

1번은 U 가 A와B로만 구성된 집합이라면 U-A로도 표현될 수 있습니다.

 

부등호를 지니는 조건제시법의 집합은 차집합에대하여 다음을 적용합니다.

 

 

5)곱집합

A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}

두개의 유한집합을 하나의 순서쌍으로 묶은 집합입니다.

 

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⑤정리의 법칙

 

1)교환법칙

A∪B = B∪A ,  A∩B = B∩A

 

2)결합법칙

(A∩B)∩C = A∩(B∩C) , (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

 

3)분배법칙

C∪(A∩B) = (C∪A)∩(C∪B) , C∩(A∪B) = (C∩A)∪(C∩B)

인수분해처럼 식을 줄일때 역계산으로 많이 쓰입니다.

 

 

위와 같은 여집합에 대해서는 분배법칙을 활용할 수 없습니다.

 

4)드모르간의 법칙

 

 

5)기타

(A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)

 

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2.응용

 

집합단원의 특성상 여러 풀이과정들을 설명할 수 없었습니다.

집합의 합집합,교집합,여집합으로 구성된 식을 정리하는 과정은 단순한 암기과목이며

그외의 요소들도 풀이과정 외의 해석 능력을 요구하기 때문입니다.

그래서 이번 단원에서만 아래의 예시들은 풀이라기 보단 몇가지의 설명을 합니다.

꼭 따로 풀어보시는 것을 권고합니다.

 

A1) 부분집합의 갯수

1.A={a,b,c,d} 중에 c 를 제외한다면 갯수는 a b d 로 3개이므로 부분집합은 2³이 됩니다.

2.그런데 반대로 c가 반드시 포함 되어야 한다면 마찬가지로 부분집합은 2³이 됩니다.

3.만약 c가 반드시 포함되고 d가 빠져야한다면 부분집합은 2²가 됩니다.

4.a와 b중에 적어도 1개는 포함해야한다면 이땐 (전체 갯수)2⁴-2²(c와d의 모든 경우의 수)가 됩니다.

 

A2) 배수의 교집합

2과 3 의 배수의 교집합은 6의 배수의 교집합이라고 할수 있습니다.

 

A3)한글을 제거한 조건제시법

1.xy=0 > x또는 y는 0

2.x²+y²=0 > x그리고y는 0

3.x²+xy+y²=0 > x그리고y는 0

4.(a-b)(c-d)=0 > a=b 또는 c=d

 

A4)조건제시법으로 표현되는 내부의 집합

A={x|x∈S, 10-2x∈S}

x=1 일때 집합 A안에는 반드시 8이 존재하게 됩니다.
이때 역으로 1이 존재하지만 8이 존재하지 않으면 집합의 조건에 성립하지 않습니다.

즉, 서로가 반드시 필요한 존재일때, 서로 묶여져있는 {1,8}의 하나의 원소로 취급합니다.

 

A5)조건제시법과 첨자

An= {x| x=k/n, 0≤k≤n,k는 정수}

이때 n에대하여 만약 A₂ {x| x=k/2, 0≤k≤2,k는 정수}로 같이 변동됩니다.

k=0,1,2일때 x = 0,½,1가 될 것입니다.

 

A6)조건제시법과 지수

 

 

x 의 값은 n의 값에 따라서 A₁=P¹<x<P² , A₂=P²<x<P³이 됩니다.

즉 ,p¹,p²,p³... 등의 모든 Pⁿ 의 값은 집합 A에 포함되지 못한다는 것을 알수 있습니다.

그런데 이는 Ap=U-{1,p,p²,p³…}라고도 할수 있으며

즉 An 의 여집합은 = {1,p,p²,p³…}로 해석됩니다..

 

A7)함수가 들어간 조건

A = {x|f(x)=2, x는 양의 약수의 갯수}

이때 f(x)의 내용은 양의 약수의 갯수가 2개인 모든 x의 값이 됩니다.

즉, f(x)=2 는 옆의 조건과 맞춰서 소수를 뜻하게됩니다.