[함수의 극한] 극한 함수의 성질과 충분조건

 

이번 단원에선 주로 극한을 사용하는 함수에 대한 내용을 다루고 있습니다.

가독성을 위해서 극한은 (x→∞), 혹은 lim로 작성될 수 있습니다.(수학적으로 맞는 표현은 아닙니다.)

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1.개념

 

[극한함수의 성질]

 

1.수렴하는 함수의 성질 {암기}

 

① limKƒ(x) = Klimƒ(x)

② lim(ƒ(x)±g(x))=L±M (복부호 동순, L과 M은 함수 ƒ와g의 결과)
③ lim(ƒ(x)*g(x))=LM (나눗셈에서도 적용합니다.)

④ lim(ƒ(x)/g(x)) * lim g(x) = limƒ(x)

 

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2.미정계수의 성질

※미정계수란 일정한 값이 존재하지 않는 수를 뜻합니다.

이미 부정형을 설명할때 기본풀이에서 관련 내용을 설명한 바가 있습니다.

 

전제조건 : lim {ƒ(x)/g(x)} = L 일때

 

① L≠0 이며 ƒ(x)=0일때 g(x)=0
② L≠0 이며 g(x)=0일때 ƒ(x)=0
③ ƒ(x)와 g(x)의 차수가 같을때 최고차항/최고차항

 

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[함수간의 극한의 충분조건]

 

1.극한함수의 불충분

 

①함수에서 극한이 아닌 지정한 x값에대한 결과값이 존재하지 않을때

②좌극한=우극한 이 성립하지만 극한이 아닌 x에 대한 결과 값이 이와 다를경우

 

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2.극함함수의 충분성질 {암기}

※생각해보면 미정계수의 성질과 다르지 않습니다.

① f(x)≠0 일때 g(x)f(x) 와 f(x)가 x에 대한 극한이 존재한다면 g(x)도 존재
② f(x)/g(x) 와 g(x)가 x에 대한 극한이 존재하면 f(x)도 존재

 

③ lim{f(x)+g(x)} 와 lim{f(x)-g(x)}가 각각 x에 대한 극한값이 존재한다고 해봅시다.

그렇다면 이 두 수식의 결과를 L,M라고 할때 L+M 은 결과값이 반드시 존재합니다.

그런데 L+M = 2ƒ(x)가 성립하므로 ƒ(x)가 x에 대한 극한 값을 지니고 있을 것입니다.

 

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2.응용

이번 과정의 성질들은 정해진 내용외의 변형이 존재하지 않기 때문에

이번엔 극한함수에 대한 여러가지를 전달합니다.

[확장 지식]

 

1.합성함수의 결과에 따른 좌/우극한 표기

 

①

lim(x→a⁻) f∘g(x) 일때 g(x)=0 이라면 

g(x)= a⁻/a 일때 1보다 모자르므로 0⁻

g(x)= a/a⁻ 일때 1보다 넘치므로 0⁺

즉 , g(x)를 t 라고 할때
lim(t→0⁻) f(t) 혹은 lim(t→0⁺) f(t)로 변형됩니다.

 

②

(x→1⁻) ƒ(x+2) 일때 x+2를 t 로 잡는다면 (t→3⁻)

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2.미정계수 정리와 함수의 인수

 

①

 

ƒ(x)≠0 라면 분모분자의 (x-a)에 극한값 a를 대입했을때 (a-a) 변하여 0이 되므로

결과값이 1이 되기 때문에 ƒ(x)=0 입니다.  
그래서 ƒ(a)=0 라고 한다면 ƒ(a)는 ƒ(x)÷(x-a)=0과 같으므로

ƒ(x)는 x-a를 인수로 지니고 있다고 할 수 있습니다.

즉 , ƒ(x)=Q(x)(x-a) 입니다.

 

②

 

미정계수의 성질에 의해서 분모가 0이 되므로 분자는 0이됩니다.

ƒ(-1)=0 일때 ƒ(x)=Q(x)(x+1) 입니다.

 

③

 

부정형 정리에 의해서 ƒ(x)는 2x²+b가 됩니다. 

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3.값이 확산하기 위해선 분모가 0에 가깝다

 

x²-3x+2 에 -1을 대입하면 1+3+2=6이 되므로 
분모인 (x→-1) 에서 ax²+bx=0이라고 할 수 있습니다.

※ax²+bx는 (x+1)를 인수로 지닐 것입니다.

 

4.무한대 사이 부등호의 특수 변형
(x→∞) 2x+1<f(x)<2x+3
f(x)/x 의 의 범위로 변형한다면  
lim((2x+1)/x)=2, < f(x)/x <lim((2x+3)/x)=2, 
그러므로 2<f(x)<2에서 f(x)=2 입니다.

최고차항외의 값이 비교적 극미하기 때문에 기타값을 무시할 수 있기 때문입니다.

 

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[기본]

 

①
(x→-3) ƒ(x)-x²=0 일때 f(x)=x² 이므로 f(-3)=9

 

※즉, 언제나 함수식을 찾는것만이 답은 아니란걸 기억합시다.

 

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[테크닉]

 

1.함수식 변형을 통한 극한 표적 변경
(x→0) f(x)/x=1

= (x→1) f(x-1)/(x-1)

 

2.극한식 분리

 

 

 

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[구문 해석]

구문 해석은 웬만하면 제외하려 했지만 이건 조금 지나쳐서 따로 적어둡니다.

식을 만족시키는 다항식 ƒ(x)중 가장 차수가 낮은 것을 g(x)라 할 때

▷ƒ(x) = axⁿ*Q(x)라고 할때 
주어진 식 조건을 만족하는 ƒ(x) 중에서 
지수 n이 가장 낮은 수치일때 조건을 만족할수있는 임의의 Q(x)를 대입한 식을
g(x)라고 한다.