[수열] 등차수열

 

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1.개념

 

[등차수열]

 

1.정의

 

 

수열 중에서 지니고 있는 숫자들간의 차(뺄셈)가 일정할때 등차수열이라고 합니다.

이때 기준이 되는 항과 다음 항간의 차이 인 d(difference)를 공차 라고합니다.

 

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2.성질

 

① a₂ = a₁+d

② a₄= a₁+3d

③ a₂-a₁=d

 

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3.등차수열의 일반항

※컴퓨터 입력의 한계로 작은 n을 일반 n으로 작성합니다.

 

 

a₂ = a₁+d 라면 a₃ = a₁+2d 라고 할수 있습니다.

이를 응용해서 an = a₁+(n-1)d 라고 정리됩니다.

식을 변형한 dn+(a₁-d)에 공차와 첫째 항을 대입한 식이 일반항입니다. 

 

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4.등차중항

 

A={1,2,3,4,5,6} 이라고 할때

(1+5)÷2 = (2+4)÷2 = 3 을 만족합니다. 즉,  (a₁+a₅)÷2=(a₂+a₄)÷2=a₃ 입니다.

이때 결과로 나온 a₃을 등차중항 이라고 합니다.

a₁와a₆ 같이 등차중항의 값은 존재하지만 해당하는 항이 존재하지 않을 수 있습니다.

다만 이경우 a₁+a₆ 의 값과 a₃+a₄의 값이 같을 것입니다.

 

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5.특성

※컴퓨터 입력의 한계로 작은 n을 일반 n으로 작성합니다.

 

①

등차수열은 y=dn+(a₁-d) (d,a₁은 상수항) 에서 일차함수의 그래프 모양을 지닙니다.

단, n의 값은 자연수만 존재하므로 그 모양은 정수마다의 점선이 됩니다.

 

②

두 등차수열의 합을 {An}+{Bn}={Cn} 이라고 할때 {Cn}은 등차수열이 됩니다.

 

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[조화수열]

※컴퓨터 입력의 한계로 작은 n을 일반 n으로 작성합니다.

 

 

1.정의

수열이 지닌 숫자들을 역수로 바꿧을때 등차수열을 이루면 조화수열이라고 합니다.

조화평균의 그 조화가 맞습니다.

 

2.조화중항

혹은 조화평균이라고 할수도 있습니다.

 

우선 조화수열이라는 것이 역수로 바꾸기 전의 구성을 의미한다는 것을 생각해봅시다.

역수로 바꾸기전 3개의 수열을 {a,b,c} 라고하면

역수로 바꾼후의 3개의 수열은 {1/a , 1/b , 1/c} 입니다.

이때 (1/a+1/c) ÷ 2 = 1/b의 역수가 조화중항이 되겠죠.

 

그런데 (1/a+1/c) ÷ 2 에 ac/ac 를 곱하면 이때의 식은 (a+c)/2ac

즉 , (a+c)/2ac 의 역수인 2ac/(a+c)가 조화중항의 값이며 이 식은 조화평균을 의미합니다.

 

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2.특별 부록

 

[항의 순서 읽기]

 

1.두개의항 사이에 n개의 항이 존재한다. 

: 첫항 + n개 + 끝항 → n+2개의 항.

 

2.Aₓ=S₂ₓ (x는 자연수)

: Aₓ={S₂,S₄,S₆ …} → A₁=S₂

 

3.na₁+2항이 44, 첫째 항은 4. (n은 첨자가 아닌 자연수)

→4+(4n+1)d=44

 

※4n에 대한 설명

1항은 4, 2항은 4+d, 3항은 4+2d,

n항은 4+(n-1)d, a₁n항은 4+(a₁n-1)d,

an+2항은 4+(a₁n-1+2)d

첫째 항이 4일때 4+(4n+1)d=44

 

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3.응용

 

[추가 지식]

 

1.미지의 수열

a₁을 알수없는 수열의 일부는 {a-d, a, a+d} 혹은 {a-3d', a-d', a+d', a+3d'} 로 표현해서 적습니다.

※주의사항

ⓐ여기에서 a는 a₁이 아니란 것을 주의합시다.

ⓑ-3d' , -d' , +d' , 3d' 로 적은 수열에서 d'는 d/2가 된다는 점에 주의합시다.

 

2.부분적으로만 만족하는 등차수열

An = 2n+2 (n≥2)

위의 식은 첫째 항이 등차수열을 만족하지 않을때의 일반항 입니다.

 

3.항의 음양 순서

a₆a₇<0 , a₁>0

등차수열의 d는 부호도 상수이므로 이때 a6은 + ,  a7은 - 입니다.

 

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[기본]

※수열의 계산식에서 첨자없는 a는 a₁을 뜻합니다.

 

①

a₆ + a₈ = 0 ,  |a₆|=|a₇|+3 일때

→ a+(6-1)d + a+(8-1)d = 0 
→ a=-6d ,

|-6d+(6-1)d| = |-6d+(7-1)d|+3

∴ d=±3 , a=±18 (복부호역순)

※복부호동순이란 말은 있어도 역순이란 말은 없습니다.

 

②

a₂=5, a₇=15
→ a+(2-1)d=5 , a+(7-1)d=15

∴ a=3 , d=2

 

③

a₂=-1 , a₃=2 일때 등차중항에 의하여 a₁=-3

 

④

a₁+a₂+a₃=9

→ (a-d)+a+(a+d)

→ 3a=9

→ a₂=3
a₂+a₃+a₄ =12

→ a₃=4
∴ d=1 a₁=2

→ An = n+1

 

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[테크닉]

 

① a₁+a₂+a₃ = a₁+a₃+{(a₁+a₃)/2}

 

② a₁+a₂+a₃= 2a₂+a₂

 

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[풀이]

 

1.두 수열의 합의 공차 {다소 이해력 필요}

{3an+5bn} a의 공차는 3 , b의 공차는 5 입니다.

위의 식을 일반항으로 해석해서 3{a-2(n-1)} + 5{b+3(n-1)}일때

3a+5b(n) (※ 곱아닙니다, 비유를 위한 표현이며 맞는 표현 아닙니다) 에 대하여 정리하면

(3a+5b)+9(n-1)이 되므로

3a+5b의 공차는 9입니다.

 

2.등차항의 합의 비
>(a₁+a₂) : (a₃+a₄) = 1:2

 → a+(a+d) : (a+2d)+(a+3d)

→ 2a+5d=4a+2d 

→ 2a=3d

 

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[심화]

※이번 심화는 기존의 개념을 완전히 벗어나서 이해해야 합니다.

개념이 뒤바뀐 어려운 내용이나, 활용가치가 있기에 작성합니다.

 

 

a와 d는 값이 정해져있는 상수입니다.

그래서 (a/2d+1/2)의 값은 언제나 변하지 않습니다.

그런데 -1/2n 에서 n은 변수입니다.

그러므로 {a/2d}의 수열은 -1/2씩 변화하는 새로운 공차를 지니게 됩니다.

즉, 위 수열의 공차는 d가 아니라 -1/2입니다.