연립방정식

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1.연립방정식의 정의

 

 

①연립방정식 계산하기

 

 

연립방정식이란 방정식 자체를 하나의 숫자 A,B 로 보고

A - B 나 A + B를 해서 내부에 미지수의 해를 구하는 방법입니다.

연립방정식에 쓰이는 두 식은 중괄호 { 로 묶여서 표기됩니다.

 

 

예를 들자면 방정식 중에 하나를 골라서 다른 하나의 식에 맞도록 변형한 뒤에

 

 

변형한 식을 기준으로 삼았던 식으로 뺄셈을 진행해보면

y = 2/7 이라는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

이렇게 구한 y 값은 두 방정식 중에 아무곳에나 대입해보면 x = 9/7 이라는 사실을 알 수 있습니다.

 

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②연립방정식의 특징

 

 

1)연립방정식의 순서쌍

 

 

연립방정식으로 얻은 x , y 값은 순서쌍으로 묶어서 표현할 수 있습니다.

이때 , x 는 1번째 , y 는 2번째 가 되어야 합니다. 이에 대한 이유는 그래프와 관련이 있습니다.

 

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2)연립방정식으로 구한 해의 의미

 

만약에 3x + 3y = 3 과 x + y = 1 을 연립방정식으로 풀면

해가 무한히 많을 것입니다.

이유는 위의 두 식은 같은 식이기 때문입니다. (이것은 항등식의 의미이기도 합니다)

 

그러니까 3x + 4y = 5 , 4x + 3y = 6 이라는 이 두 방정식은 에초에 같은 식이 아닙니다.

연립방정식은 서로다른 A방정식과 B방정식을 둘다 만족 시키는 공통점을 구하는 행동 입니다.

다른말로 표현하자면 여러 데이터의 공통점을 찾는 행위라고 할 수 있습니다.

 

방정식을 그래프로도 표현하면 재미있는 사실을 알 수 있습니다.

 

  

우선 그래프에 그릴수 있도록 방정식을 y 에 맞게 변형한 뒤에

 

 

식을 그래프로 그리면 그래프가 겹치는 지점이 연립해서 계산한 해의 값과 정확하게 일치합니다.

*그래프 그리기는 다음 단원에서 배웁니다.

 

 

-x + y = 2 와 -x + y = 0 같은 경우엔 연립방정식을 진행할 수 없을 것입니다.

그래프로 그려봤을때에도 이 둘은 평행하므로 만나는 지점이 존재하지 않습니다.

즉 연립방정식에서 구해지는 해는 그래프가 교차되는 지점을 뜻하며,

교차되는 지점이 없다면 해도 없습니다.

 

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2.연립방정식의 응용

 

 

①연립방정식을 거꾸로 풀기

 

 

구해진 순서쌍을 역으로 대입해서 미지수가 된 계수를 구할 연립 방정식을 만들 수 있습니다.

 

 

서로 다른 순서쌍이 두개라면 하나의 방정식으로도 계수를 추측할 연립 방정식을 만들 수 있습니다.

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②분수식을 미지수 A로 취급하기

 

 

분수식은 분자의 1 단위를 기준으로 A 나 B 로 취급해서 식을 간소화 할 수 있습니다.

이 방식은 분수식에만 적용되지 않고 여러식에 응용 할 수 있습니다.

예를 들어 2x+2 와 4x + 4 를 A , 2A 혹은 2A , 4A 로 취급할 수도 있을 것입니다.

 

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③소수가 들어간 방정식을 정수화하기

 

 

소수는 방정식을 10 단위로 곱해서 정수로 정리할 수 있습니다.

 

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ex.수학 외의 기타 사항

 

Q . 안드로이드 기기는2%감소 아이폰 기기는 3%증가했을때 총합 900개 중에 총합 대비 5% 갯수가 증가했습니다. 안드로이드 기기 갯수와 아이폰 기기  갯수는 각각 몇개일까요?

 

point 1. 명사는 x 혹은 y 로 표기합니다.

 

위의 글에서 명사는 안드로이드 기기 , 아이폰 기기 가 있습니다. 그렇다면, 

X 는2%감소 Y는 3%증가했을때 총900개 중에 대비 5% 갯수가 증가 라고 바꿔 쓸 수 있을 것입니다.

 

point 2. 총합 N 개가 있다 , 합은 N 개가 된다 는 ??? = n 을 뜻합니다.

 

위의 식에서 총 900개가 있다고 했으므로 ??? = 900 이라고 할수 있습니다.

또한 총합에서 5% 증가했다고 하였으니 ??? = 900 + 5% 라는 식도 있습니다.

 

point 3. 현재 배우고있는 과목을 먼저 파악해봅시다.

 

이번 글에서 다루고 있는 문제는 연립방정식 입니다.

그러므로 위의 문제에서 우리가 구해야돼는 것은 2개의 방정식 이란것을 알 수 있습니다.

 

point 4. 비슷한 데이터 단위들을 묶어서 생각합시다.

 

합이 900 이므로 x + y = 900 라는 식을 추측할 수 있습니다.

 

그리고 문제에는 2% , 3% , 5%(결과) 라는 비슷한 데이터 정보가 존재합니다.

이럴때는 2% + 3% = 5% 로 둔 뒤에

이것을 2x + 3y = 5(900) 으로 바꿔서 연립방정식을 완성할 수 있습니다.

% 단위가 아니더라도 어떤 비슷한 문제들도 똑같이 적용된다고 볼 수 있습니다.

 

이에 대한 이해가 필요하다면 이렇게 생각해 봅시다.

x 가 2%(1 - 0.98) 감소하고 y 가 3%(1 - 1 + 0.03) 증가했을때 900 x (1 + 0.05)가 됩니다.

그러니까 0.98x + 1.03y = 945 라는 식을 얻을 수 있습니다.

혹은 이것을 꺼꾸로 해서

x + y = 900 에 대해서

-0.02x + 0.03y = 45 라고도 쓸수 있을 것입니다.

 

그렇다면 -2x + 3y = 4500 일 것이고 x + y = 900 이므로

5y = 6300 ,  ∴ y = 1260  , ∴ x = -360 라는 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

 

연습문제

Q2. 현재 장미와 튤립 의 갯수의합은 7개, 장미 500원 튤립 700원일때 모두 사면 총합 4100원이 나옵니다.

장미와 튤립의 갯수 몇개일까요?