-
1.원의 방정식
1)개념
좌표평면상에서 원이란,
중심점에대해서 k 만큼 거리가 떨어져있는 모든 점들의 집합이라고 할 수 있습니다.
거리가 k 라고 할때 피타고라스의 정리에 의해서 모든 점들은 x²+y²의 형태로 변환할 수 있습니다.
즉, k를 만족하는 모든 x²+y²들의 집합을 원이라고 할수 있습니다.
원의 자리를 옮긴다고하면 원의 중심을 이동한뒤,
이동한 중심점을 기준으로 k=x²+y²를 만족하는 식으로 작성할 수도 있을 것입니다.
⑵
이렇게 (n,m) 만큼 움직여서 (x-n)²+(y-m)²=r² 형태의 식을 원의 방정식(일반형)이라고 합니다.
r²은 반지름의 제곱이 되며
이 식을 0에 대하여 정리한 f(x,y)=x²+y²+Ax+By+C 의 식을 표준형이라고 합니다.
⑶
x²+y²=r² 이라고 할때 이 방정식의 최소값은 언제나 r²이 될 것입니다.
그러므로 f(x,y)=x²+y² 이라고 할때 f(x,y)≥r² 로도 표현할 수 있습니다.
⑷
원의 방정식이 (x-a)²+(y-b)²=r²+k 라고할때
원의 반지름은 반드시 양수일 필요가 있습니다.
그러므로 k≥0 혹은 |k|<r² 의 부등식이 성립합니다.
또한 식이 r²-k²이라면 k=0일때 원의 넓이는 최대가 될 것입니다.
2)원 위의 좌표
원은 하나의 x좌표에 대해서 2개의 y좌표가 나옵니다. 혹은 반대로도 마찬가지입니다.
예를 들어서 x²+y²= 13일때 (3,a)의 좌표를 지니는 원위의 점은
9+y²=13 일때 y²=4 가 되며 즉 a 의 값은 -2 가 될수도, 2가 될수도 있습니다.
단, x좌표나 y좌표의 직선의 방정식이 원과 한점에서 접할때,
a의 값이 1개가 나오는 좌표 또한 존재한다는 것에 주의해야 합니다.
3)원과 직선
⑴
원과 직선의 연립은 y를 직선의 방정식으로 치환해줍니다.
판별식 D를 활용해서 두점에서 만나는가, 접하는가, 만나지 않는가를 확인해 볼수 있습니다.
만약 원과 선이 접해있다면 (한점에서 만난다면)
접하는 선을 접선, 접하는 점을 접점 이라고합니다.
⑵
- 원 위에 존재하는 점을 응용해서 직선의 방정식으로 만들 수 있습니다.
- 이렇게 긋는 직선은 원의 중심에 대해 수직의 각도를 지닙니다.
- 원 밖의 임의의 점에 대한 원의 접선은 2개를 지닙니다.
- 두 접선의 기울기의 최대값이란 두 방정식중에 기울기 더 큰 a값을 의미합니다.
원의 반지름이 2이며 원 위에 (2,4)의 좌표가 있을 때
원의 중심과 수직이며 접하는 원의 방정식은 2x+4y=2² 이 됩니다.
이를 접선의 방정식 이라고 합니다.
다만, 접선의 방정식을 구하는 과정은 알고 있어야하므로 살펴보자면
- 원의 중심점과 접점을 기준으로 기울기를 구합니다.
- 이 방정식에 기울기가 수직인 기울기를 구합니다.
- 접점으로 직선의 방정식을 구하고 구한 기울기를 대입합니다.
좌표 (n,m) 에 대해서 nx+my=r² 이 돼는 공식은 위의 과정의 식을 정리한 공식입니다.
만약 원에 대해서 기울기가 a인 접선의 방정식을 구한다고한다면
y=ax ± r √(a²+1)
의 공식을 사용합니다. 이는 직선과 원을 연립한뒤 D=0 에대해서 정리한 식입니다.
원의 밑변과 아랫변의 평행한 두개의 선이 존재할 것이므로 값은 2개가 됩니다.
⑶원과 직선의 거리
원과 직선의 거리는 원의 중심과 직선 사이의 거리 를 구한뒤 반지름 만큼 뺀 값이 됩니다.
이때 원 위의 점과의 선의 최대/ 최소 거리는 각각 l-r , l+r 이 됩니다.
부등식으로 나타내면 다음과 같습니다.
만나지않음 l>r 한점에서만남 l=r 두점에서만남 l<r
4)두원의 교점
⑴두 원의 방정식의 연립
두 원이 서로 2개의 교점을 지닐때 겹치는 부분의 교점사이의 선분을 공통현 이라고 합니다.
두 원의 방정식을 서로 연립할때 A-B를 하면 결과로 공통현을 지나는 직선의 방정식이 나옵니다.
한편 A+B를 할 경우 두 교점을 지니는 또다른 원의 방정식이 나옵니다.
⑵공통현의 길이
(root1)
공통현의 길이를 구할때 두 중심점의 직선의 방정식을 구한뒤
공통현의 방정식과 연립하여 교점P를 구합니다.
P와 원의 중심점사이의 유클리드 거리를 구한뒤
반지름과 함께 피타고라스 정리를 통해 선분의 절반의 길이를 구합니다.
현의 길이를 교점간의 유클리드 거리로 알수 있다면
이 방법으로 원의 중심점에서 공통현 까지의 거리를 구할수 있습니다.
(root2)
공통현의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 이차방정식의 근을 구해서 교점을 구합니다.
두 교점의 유클리드 거리를 구합니다.
⑶두 원의 거리
두 원의 거리는 두 원의 중심점간의 유클리드 거리에서 서로의 반지름 만큼 뺀 값이 됩니다.
이 때 두 원의 거리의 최소값은 두 반지름의 합이 됩니다.
두 중심점과의 거리를 l, 반지름을 r 이라고 할때 부등식으로 나타내면 다음과 같습니다.
만나지않음 l>r₁+r₂ 한점에서만남 l=r₁+r₂ 두점에서만남 l<r₁+r₂
2.응용
A1)
수선의 끼인각이 90°가 되었을 때 원의 반지름과 정사각형을 이룹니다.
A2)
3개의 좌표를 기준으로 f(x,y)에 대입하면 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
연립방정식을 정리하면 3개의 좌표가 위를 지나가는 원의 방정식이 됩니다.
또한 이 방법은 3개의 점에 대해서 거리가 같은 임의의점 P를 구하는 방법이기도 합니다.
A3)
A4)
1사분면에서 x축, y축에 접한다면 이때 원의 중심 좌표는 반지름을 r이라고할때 (r,r)이 될 것입니다.
x축과 y축에 동시에 접한다면 사분면에 상관없이 |a| = |b|= |r| 을 만족합니다.
A5)
A6)
A7)
