절댓값의 식과 그래프

---

1.절댓값의 연산

 

1)절댓값 식의 풀이

 

 

|x-1|에서 x= -1 이라고 해봅시다. 그러면 |-2| 가 될것이고 절대값의 개념에 의해 |-2|=2가 될것입니다.

그리고 이를 -(x-1)과 비교해보면 -(-2)→2 로 같은 뜻 임을 알수 있습니다.

즉, 값이 음수라는 사실을 알고 있다면 절댓값 기호를 풀고 -(x) 의 형태로 변형할 수 있습니다.

반대로 절댓값 안이 양수라면 절댓값 기호를 풀었을 때 -부호는 존재하지 않을 것입니다.

 

만약 x≥1 인것을 전재로 식을 풀었는데 x=-2 가 된다면 두 정보가 서로 모순될 것입니다.

이때 모순되어 성립하지 않는 해 x=2는 버립니다.

 

2)절댓값 식의 변형

 

 

3)절댓값과 일반식의 연립

 

 

일반식과 연립할땐 절댓값의 모든 경우의 수와 전부 연립해서 나오는 해를 모아줍니다.

 

4)절댓값 식의 예외사항

 

1)

 

x의 해가 주어진 경우 식의 음양을 제어하지 않고 그대로 대입하여 계산합니다.

 

2)

 

절댓값 식은 제곱에 괄호를 필요로 하지 않습니다.

 

3)

 

 

절댓값 식은 상수 곱에 괄호를 필요로 하지 않습니다.

 

---

2.절댓값의 그래프

 

①그래프 그리기

 

 

x값의 범위에 따라서 모든 경우의 식을 변형해줍니다.

그후, x의 범위에 따라서 해당하는 그래프들을 서로 이어서 그려줍니다.

 

x=1, x=3에서 그래프의 기울기가 변한다 라고 합니다.

 

②절댓값 그래프의 유형

 

1)y=|x|

 

 

그래프의 이동은 이차함수와 같습니다. |x+1|-2 일떄 꼭지점이 (-1,-2)만큼 움직입니다.

꼭지점이 (-1,-2) 일때 최소값은 -2가 될 것입니다.

 

2)|y|=x

 

 

3)|y|=|x|

 

 

4)|x|+|y|=1

 

 

(비유하자면)반지름의 크기가 1인 마름모가 됩니다.

a|x|+|y| 일때 a는 1사분면의 역기울기를 뜻합니다.

 

5)y=|x+m|+|x+n|

 

 

비대칭 모양일 수 있습니다.

 

6)y=|x+m|+|x+n|+|x+l|

 

 

비대칭 모양일 수 있습니다.

두번째 꺽이는 구간이 꼭지점이 됨을 알수 있습니다.

즉 y=|x-1|+|x+1|+|x+3| 에서 x=1 이 그래프의 꼭지점이라고 할 수 있습니다. 

 

---

3.응용

 

A1)

 

A2)

 

A3)

 

A4)

 

|y|=f(|x|)를 그래프로 그리면

y=f(x) 그래프를 3)|y|=|x| 형태로 그린 모양이 됩니다.

→ 즉 원점에 대한 대칭으로 4개의 사분면에 그려지게 됩니다.

 

A5)

넓이가 72인 마름모

> |x|+|y|=6.

6 = 반지름 → 12x12/2 = 144/2 = 72

a|x|+|y| 일 경우 기울기 a에 따라 달라짐