함수의 나눗셈

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1.개념

 

1)

함수 f(x) ÷ x+2의 나머지는 f(-2) 와 같습니다.

 

2)

함수의 나눗셈이 우변의 등식과 이어져있다면 우변의 내용은 f(x)÷(x+2) 의 나머지를 의미합니다.

 

3)

함수의 나눗셈은 나누는 값을 약분해도 그 나머지가 같습니다.

13÷6 과 13÷3 의 나머지가 같은 원리입니다.

 

다만, 16÷6=4, 16÷3=1 같이 서로 다를 경우가 있는데

이는 f(x)÷x²+x 를 x(x+1)로 구분해서 f(x)÷x+1로 나눈 경우가 이에 해당합니다.

 

4)

함수의 나눗셈은 조립제법과 결과가 일치합니다.

그러므로 -1로 나누어서 나머지가 0이라면 이 함수는 (x+1)을 인수로 지니고 있다고 할 수 있습니다.

 

5)

다항식은 f(x) 로 취급하여 함수의 나눗셈을 진행할 수 있습니다.

또한 내용을 모르는 미지의 다항식은 f(x) 라고 작성해서 사용합니다.

 

6)

반대로 f(x) 가 나누는 값이 2차식이상일 경우 다항식으로 바꿔서 다항식의 나눗셈 으로 계산해야합니다.

이때 f(x)가 미지의 함수식이라면 2차식으로 나눌때 등식의 우변의 값은 ax+b ,

3차식으로 나눌때 ax²+bx+c 라고 작성하여 활용합니다.

 

7)

f(x-1)같이 괄호 내부에 다른 값이 존재해도 함수의 나눗셈은 성립합니다.

 

8)

f(x)÷(x-4)를 f(4)로 사용한다면 함수가 속해있는 모든 x의 값들도 4로 치환할 필요가 있습니다.

 

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2.응용

 

A1)

 

A2)Q(x)활용

 

A3)Q(x)응용

 

A4)R(x)응용

 

A5)나눗셈 역산의 항등식 특성

 

2차식으로 나눈 미지의 몱은 ax+b 라고 표현합니다.

또한 함수식 = Q(x)(나눈값)+R(x) 의 등식은 언제나 항등식의 성질을 지니고 있습니다.

 

A6)

만약 m이나 n의 값이 분수 값이면 먼저 분모만큼 곱해줘야합니다. ex. f(-½) = 0 → 2x+1

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3.심화개념

작성자가 직접 고안한 문제들이 아니며, 실제로 문제풀이에 존재하는 것들입니다.

누군가가 알려주기 전까진 스스로 해법을 찾기 매우 힘든 문제들을 예시로 보여드립니다.

 

a)R(x)의 인수의 특성

본문으로 들어가기 앞서서 먼저 이해해봅시다.

16 ÷ 6 의 나머지는 4 입니다. 6의약수인 3으로 나누었을때 16 ÷ 3의 나머지는 1 입니다.
4÷3을 추가적으로 나누면 그 수는 반드시 1이 될것입니다. 이때 4=(몱1)3+1 이라고 할 수 있습니다..

 

충분히 이해했다면 다음으로 넘어가 봅시다.

f(x)÷(x-1)²(x-2) 의 나머지는 R(x) 입니다.
(x-1)²(x-2)의 인수인 (x-1)²으로 나누었을때  f(x)÷(x-1)² 의 나머지는 x+1 입니다.
3차식 (x-1)²(x-2) 으로 나눈 나머지인 R(x) 를 ax²+bx+c 라고 한다면
ax²+bx+c÷(x-1)² 의 나머지는 반드시 x+1이 될것입니다.
이때 ax²+bx+c = Q(x)(x-1)²+x+1 라고 할 수 있으며, 항등식이 됩니다.

 

 

1.(x²+x+1)의 상수항이 1을 유지하기 위해선 Q(x)의 상수항이 1이여야합니다.

2.(x²+x+1)가 2차식을 유지하기 위해선 x²과 x항이 존재하면 안됍니다.

3.혹은 a=0 이라 가정해서 2차항이 없다고 가정한다면 Q(x)=0만 존재하며, 이 경우 c=2와 모순이 생깁니다.

 

그러므로 Q(x)=1 >

 

b) a(x-1)³+b(x-1)²+c(x-1)+d

{a(x-1)+b}÷(x-1) 에서 f(x)=a(x-1)+b 라고 한다면 f(1)=b 에서, 몱은 a가 될 것이고 나머지는 b라고 할수 있습니다.
(x-1){a(x-1)+b}+c 에서 똑같이 적용했을때 몱은 {a(x-1)+b}, 나머지는 c 입니다.

 

이런식으로 (x-1)을 거듭 곱하는 함수는 풀어서 정리했을때 a(x-1)³+b(x-1)²+c(x-1)+d 의 형태를 지닙니다.

 

c)Q(x)의 변형과 f(x)의 상관관계