이차방정식의 계수와 근

---

1.미지의 이차방정식 표현

 

①이차식 표현

 

1)전개식 표현

 

 

f(x)의 내용물이 무엇인지 모르지만 이차방정식임에 확실하다면 이때 그 내용물로 씁니다.

무조건 저 형식을 지닌다기보단 여기에서 b 나 c 는 0이 될수도 있으므로 포괄적인 의미로 해석됩니다.

 

2)인수분해식 표현

 

 

두개의 근이 주어져있을때 각각 m과 n 이라고하면 인수분해식으로 더 구체적인 작성이 가능합니다.

단, 이 m과 n은 기본적으로 x의 계수가 1인 인수를 뜻합니다. ex. (x-1)(x+1)

a는 이를 보완하는 미지수로써, 

(2x-1)(x+1) 같이 x의 계수가 1이 아닌 인수를 2(x-½)(x+1) 같이 변형했을때 생겨나는 값입니다.

 

a(x+m)(x+n) 으로 헷갈리지 않도록 주의가 필요합니다.

근이란 계산 결과 값을 0으로 만드는 x의 값이므로 인수로 작성하면 -m,-n으로 부호가 반전될 것입니다.

 

---

②근과 계수의 관계

 

 

a는 (x-m)(x-n) 식에서 나오는 이차항이 1x² 일것이므로 ax²와 같다면 a=a여야 합니다.

b와 c에 대해선 이전에 다룬 바가 있습니다.

다만 b에서 어째서 -부호가 붙는지 의문일 수 있는데,  근이란 (x-m)에서 x 부분에 해당한다는 것을 생각해봅시다.

 

m+n=-b/a , mn=c/a 의 경우 의외로 헷갈리기 쉬운 부분입니다.

보통 문제를 푼다면 이차식의 a가 1로 나오는 경우가 대다수입니다.

그래서 사실상 m+n=-b , b=-(m+n)에 익숙해져 ax²가 존재할때  a를 곱해야할지, 나눠야할지 서로 헷갈립니다.

그러므로 어느 때에 a를 나누고 곱하는지 확실히 파악하고 넘어가는것을 추천합니다.

 

---

③m과 n의 관계표

 

m+n>0	mn>0	근 m,n은 양수
m+n<0	mn<0	근 m,n은 음수
m+n>0	mn<0	+근의 폭> -근의 폭
m+n<0	mn<0	+근의 폭< -근의 폭
m+n=0	mn<0	+근의 폭 = -근의 폭

음수로 묶여서 변형될 수 있습니다. ex. -(m+n)<0 이라면 양근이 더 큰폭을 지닙니다.

 

---

2.판별식 D

 

①D의 개념

 

 

근의 공식에서 근호 안에 있는 식입니다.

근의 공식과 대조해서 생각해봅시다.

b²-4ac 가 >0 이면 근이 두개 있을 것입니다.(2개의 실근을 가진다고 합니다.)

D=0 일때 근이 1개 있을 것입니다.(근이 겹칠때 중근을 가진다고 합니다. ex.(x-1)²)

D<0 이면 허근을 가진다고 하거나 혹은 근이 없다고 할수도 있습니다.

즉 D란, 이차방정식이 근을 몇개 지니고 있는지 파악하기 위해서 쓰이는 수식입니다.

 

D/4 는 이차식의 b의 계수가 짝수일때만 사용할 수 있습니다.

D/4를 통해서만 풀어낼수 있는 문제들도 상당수 있으므로 반드시 둘다 파악해야합니다.

 

---

2)D 정리표

 

아래의 항목들은 D를 사용하면 확인할수 있는 목록들입니다.

 

D>0	근을 2개 지님
D=0	근을 1개 지님
D<0	근이 0개 or  x 항등식 or 허근 2개
D≥0	실근을 지님
D>0	그래프가 x축에 2점에서 만남
D=0	그래프가 x축에 1점에서 만남(꼭지점)
D<0	그래프가 x축과 만나지않음
D≥0	x축과 만남

 

방정식을 f(x) 라고 할때 f(x)=g(x) 로 정리된 방정식에 D≥0를 적용하면

두 방정식이 실근을 가지는 범위를 확인할 수 있습니다.

---

③미지수의 D

 

 

D는 x라는 미지수를 제거하여 b에대한 식을 만드는 용도로 쓸수 있다는 이점이 있습니다.

그래서 판별식 D의 원래 의도와는 다르게 미지수의 범위를 추정할때 가장 많이 사용됩니다.

그래서 x항에 미지수가 붙어있는 이차식은 가장 먼저 D를 의심해야합니다.

 

---

3.응용

 

A1)

 

A2)

 

m-n 이 될수도 있고 n-m 이 될수도 있을 것입니다. 그래서 결과는 ±2가 됩니다.

 

A2-2)

두 x교점의 거리는 2√5다.

>두 교점을 m 과 n 이라고 할때 |m-n|=2√5 → (m-n)²=20 →  (m+n)²-4mn = 20

 

---

4.심화

 

작성자가 직접 고안한 문제들이 아니며, 실제로 문제풀이에 존재하는 것들입니다.

누군가가 알려주기 전까진 스스로 해법을 찾기 매우 힘든 문제들을 예시로 보여드립니다.

 

a)

 

근은 결국 방정식을 0 으로 만드는 x=m , x=n 을 뜻합니다.

그러므로 영등식은 x 를 근으로 대체할 수 있습니다.

이 식은 다른 m²이 들어가는 방정식을 1차식으로 낮출 때 사용합니다.

 

b)

 

c)super hard

a값에 관계 없이 근이 2개인 미지수k의 범위