함수의 범위

단원에 들어가기 앞서서 판별식 D를 모르신다면 먼저 학습하셔야합니다.

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1.최소값/최대값

 

1)이차함수

 

y=(x-1)²-2 를 f(x)=(x-1)²-2 로 바꿔써 본다면

축의 방정식 x=1 에 대해서 f(1)은 (1-1)이 0을 만족하면서 y의 최소값을 나타냅니다.

반대로 음수일 경우엔 같은 원리로 최대값을 나타냅니다.

 

2)x²+y²=n

 

 

xy 항이 존재하지 않는 x²,y²의 식일 경우 x항과 y항을 각각 완전제곱식으로 바꿔서 최소값을 구할 수 있습니다.

만약 x²,y²의 식에서 x항은 있는데 y항은 없다면 (x+a)²+y²=n 로 변형해서 판단하면 됩니다.

 

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2.f(x)값 의 관계

 

1)f(x)등식과 대칭축

 

이차식인 f(x)가 f(-4)=f(2) 라고할때 이를 그래프로 표현하면 위와 같을 것입니다.

즉, 이때 이 함수의 대칭축은 -4~2 의 중간 지점에 위치할 것이므로

(|-4|+|2|)÷2)(두 점사이의 거리의 평균) 를 -4에 더해서 대칭축을 구할수 있습니다.

 

2)두 근의 범위의 음양관계

 

f(x)임의의 두 근을 a,b 라고할때 f(a)=f(b)=0 일 것입니다.

만약 a<-1<b 라고할때 f(x)의 이차항이 양수라면 이때 f(-1) < 0 이라고 할 수 있습니다.

이차항이 음수라면 f(x) > 0 일것 입니다.

f(x) 는 y 값이랑 같다는 점을 기억해서 헷갈리지 않도록 합시다.

 

좌m , 우n = 이차식의 근 , ax²+bx+c의 이차항은 양수
m<-1	f(-1)<0,  a(-1)+b(-1)+c<0
n>1	f(1)<0
0<n<1	f(0)<0 , f(1)>0

 

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3.근의 성립 범위

 

1)x교점(실근)을 가지기 위한 k의 범위

 

그래프에서 근의 성립 범위란 k가 숫자 몇 이하일때 x 교점과 만나는가에 대한 내용입니다.

물론 식을 완전 제곱식으로 만들어서 상수항=0을 만족하는 k의 값을 구할수도 있겠으나,

미지수가 완전제곱식으로 바꿀수없는 형태로 붙을 경우 판별식 D를 사용하게 됩니다.

 

 

k=9/4 일때 1개의 중근을 가질 것입니다. k<9/4일때 2개의 실근을 가질것입니다.

결론적으로 실근을 가지기 위해선 k≤9/4를 만족해야합니다.

 

2)x²+y²가 x축에 만나기위한 범위

 

 

y의 범위를 구한다고 하면 x에 대한 내림차순으로 정리한 뒤 D의 식으로 변경하여 인수분해를 해줍니다, 

 

이걸 왜 하는지 이해가 필요하다면 아래를 클릭하거나 혹은 당장은 그냥 넘어가셔도 좋습니다.

x²+y²=1 은 반지름 1 크기의 원을 의미합니다. 여기에서 x의 값과 y의 값은 이 원의 그래프상의 위치를 의미하므로 -2≤y≤-1 이란 y축상으로 이 원이 x축을 통과하는 범위를 의미하게 됩니다.

 

3)두 방정식의 교점의 범위

 

 

만약에 직선과 이차함수를 연립해서 x²+3x+k 가 되었다면,

D를 이용해서 두 그래프가 닿기위한 범위를 구할 수 있습니다.

 

1)의 계산과 완벽하게 동일하지만 연립방정식에 사용하는 D의 의미는 위의 그림을 의미하게 됩니다.

여기에서 K>? 가 아니라 K<? 가 되는 이유는 움직이는 주체가 직선이 아닌 이차함수이기 때문입니다.

 

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4.응용

 

A1)

 

이차함수에서 주어진 근a 의 범위가 -1<a<0 이고 대칭축이 1이라면 

근 b는 -1<a<0< 1 <2<b<3 으로 해석할 수 있습니다.

 

A2)

대칭축이 -1이고 -2≤x≤4 의 범위가 주어져 있을때 y의 최대값은 f(4), 최솟값은 f(-1) 이됩니다.

 

A3)

 

A4)

 

y=ax+b (0<x<3) 가 양수의 범위를 지니기 위해선 0<(1,2)<3 이므로 f(1),f(2)>0가 성립될 것입니다. 

 

A5)

한개당 1000원 이며 하루 판매량 64개 , 100원 깍을때마다 판매량은 +8개 됩니다.
>수익:y = (가격:1000-100x)(갯수:64+8x). 이차방정식이기 때문에 완전제곱식으로 정리하거나 D를 사용하면 가격을 얼마나 깍아야 최대 수익이 나오는가 최대 값을 확인할 수 있습니다.

 

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5.심화

 

a)

 

b)

(x-a)²-a²+2a+3 의 꼭지점이 1사분면에 존재하기 위해 필요한 a의 범위

①a>0.

>도형의 이동에 의해 x-a 일때 꼭지점이 a만큼 움직이기 때문입니다.

②-a²+2a+3>0 → a²-2a-3<0 → (a+1)(a-3)<0 → -1<a<3. 

>y축에서 꼭지점이 0보다 위에있어야 된다는 의미입니다.

③-1<a<3 와 0<a 를 적용하면 최종 a의 범위는 0<a<3