제곱의 정리(long)

 

수학의 3번째 죽음의 고비

 

3번째를 죽음의 고비라고 하는 이유는 단순히 노가다성이 아니라

식을 정리하는 과정의 방향이 너무 많기 때문입니다.

 

이번 과정에서는 비슷한 유형의 식이 보이면 이를 응용해서 똑같이 풀수있게 하는것이 목적입니다.

 

작성한 유형들을 전부 안다고 모든 식을 전부 정리해서 풀수는 없음을 명심합시다.

결국 식을 어떻게 변형시킬수 있을 것인가에 대한 스스로의 판단/응용능력이 결국 필요할 것입니다.

 

+2022-11-27 소량의 문구를 알기 쉽게 수정 + 문제를 수정

---

1.제곱간의 곱셈과 나눗셈

 

 

①제곱의 곱셈

 

 

2제곱이란 자기 자신을 2번 곱하라는 뜻이란 것을 생각해 봅시다.

그렇다면 2를 몇번 추가로 곱할 때 마다 지수는 그만큼 증가할 것입니다. 

 

---

②제곱의 나눗셈

 

 

3번 곱한 결과에 2번을 나누면 그 결과는 하나의 숫자만 남습니다.

 

---

③제곱의 덧셈

 

 

같은 지수와 밑을 지닌 두 숫자는 x + x = 2x 로 정리할 수 있습니다.

 

---

2.음수의 제곱

 

 

-2 를 제곱 붉은 글씨처럼 표기할 경우  2 x 2 = 4, 3 - 4 = -1 의 순서로 계산하게 되면

의도가 완벽하게 잘못 전달되었다고 볼 수 있습니다.

그래서 음수에 지수를 적을 때는 반드시 괄호를 같이 써줘야 합니다.

 

여기에서 -2 x -2 = 4 이므로

3 + 4 = 7 이 됩니다.

 

음수의 지수가 짝수라면 그 결과는 양수가 될 것입니다.

음수의 지수가 홀수라면 그 결과는 음수가 될 것입니다.

이 점은 꼭 기억해둡시다.

---

 

3.제곱의 특성

 

 

①제곱의 등식 정리

 

 

등식을 영등식으로 만들고 싶다면 좌변이나 우변의 값을 양변에서 빼면 됩니다.

이 때의 계산은 서로 지수가 같은 항들 끼리 숫자를 조율합니다.

 

---

②분수의 제곱

 

 

분수를 제곱할때는 분모와 분자를 둘다 제곱해줍니다.

 

 

 

---

③괄호안의 제곱과 괄호 밖의 제곱

 

 

괄호 안/밖으로 지수가 있다면 두 지수를 곱해줍니다.

 

---

④제곱과 제곱이 아닌수의 곱셈

 

 

제곱은 일반 곱셈보다 우선순위를 지닙니다. 즉 2 x 3³ 을 하기 위해선

3³ 을 먼저 계산할 필요가 있습니다.

혹은 이를 계산하지 않고 2(3³) 의 방식으로 미뤄둘 수도 있습니다.

 

※우선순위 예제

 

---

4.응용

 

 

①n제곱의 1의자리

 

 

제곱은 1의자리의 숫자가 일정 주기로 반복됩니다.

2의 제곱은 제곱이 4번 진행 될때마다 1의 자리가 다시 돌아옵니다.

 

예를 들어서 1의 자리를 2¹⁸=n 으로 나타낸다면

2⁴ = 6  , 2⁴⁺⁴ = 6  , 2⁴⁺⁴⁺⁴ = 6이 될 것이므로

 

 

즉, 2¹⁸ 의 1의 자리는 4 일 것입니다.

 

---

②두 제곱수를 비교하기

 

제곱수를 비교하는 방법은 총 3가지가 존재합니다.

⑴밑을 똑같은 숫자로 통일 2⁴>2²

⑵지수를 똑같은 숫자로 통일 3⁴>2⁴

⑶소인수분해로 확인

180⁵ 와 6¹⁰ 을 비교한다고 할때

180 은 5(6²) 이므로

(5(6²))⁵ = 5⁵(6¹⁰)

 

그러므로 180⁵ > 6¹⁰ 라고 할 수 있습니다.

 

세가지 방법 모두 못해도 상관 없습니다.

세 방법 모두 제한된 조건에서 가능한 방법이고

실제로 비교를 한다면 계산기를 쓰기 때문입니다.

 

---

③제곱의 분해

 

3⁶ 를 지수가 지닌 숫자의 약수에 따라서 (3³)² 과 같이 묶을 수 있습니다.

하지만 (2² + 3⁶) 은 (2 + 3³)²  처럼 같이 묶을 수 없습니다.

 

---

④괄호 밖 지수의 결합

 

 

묶어진 괄호안의 식 (x - 2y³) 를 하나으 숫자 A 로 취급해보면

2A² x 3A³ = 6A⁵ 라고 할수 있으며

2A² + 3A² = 5A² 라고 할수 있습니다.

 

---

⑤항등식의 동류항

 

 

차수별로 정리가 완료된 두개의 식이 항등식이라고 했을때

식의 양쪽은 서로 동류항 이 됩니다.

즉, 이때 서로의 차수는 같아야 하므로 변수가 같은 항끼리 비교하여 차수를 파악해 볼 수 있습니다.

 

---

⑥변수의 곱

 

 

3a 라는 표현이 3 x a 를 줄인 말이라는 것을 생각하면

3a x b = 3ab 라고 할 수 있을 것입니다.

 

그러므로 3xy 에서 y 를 나눈 다면 3x 가 될 것입니다.

 

+분수에 변수가 붙어있을 때의 주의점

양변에 2/a를 곱해서 정리

 

½a 는 a/2 를 의미합니다. 그러므로 곱셈 활용시에 a가 분자에 위치함을 기억합시다.

 

 

---

+부록 나머지정리

※나머지 정리는 제곱과 상관 없는 주제입니다. 분류의 실패

이 개념은 고교과목까지 따라다니는 중요한 개념입니다.

 

 

22를 3으로 나누면 몱이 7이고 나머지가 1 일것입니다.

이것을 꺼꾸로 계산해서 7에 3을 곱한 뒤 1을 더하면 22가 될 것입니다.

 

 

이것을 다르게 표현해서 a+b+c 에 m을 나누었더니 2a 라는 몱이 나왔고

나머지가 2b + 3c 가 나왔다고 표현할 수도 있습니다.

이 표현 똑같이 적용해서 위와 같이 등식으로 만들어낼 수 있습니다.

 

a + b + c 라는 식을 A 라는 하나의 단위로 취급해서 생각해보면 쉽습니다.

예를 들어서 반대로 말해보자면 22 는 10 + 3 + 9 라고 표현할 수도 있습니다.