경우의 수와 확률

 

이번 글은 초5 과정의 가능성을 기본으로 합니다.

중2의 확률 과정에서는 일일히 가짓수를 세어서 정답을 구하라는 문제가 많습니다.

그런 내용들은 수학의 범주를 넘어가기 때문에 이번 글에서 적지 않았습니다.

 

+2022-11-20 링크 수정 및 동전 던지기 문맥 정리

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1.확률의 정의

 

 

 

확률이란 가능성에서 설명한 분수를 백분율로 표기한 수치입니다.

100% 일때 원하는 결과가 반드시 이루어지며

0%일때는 반드시 실패합니다.

 

 

동전을 튕겨서 바닥에 떨어트렸을때 동전은 인물 혹은 숫자를 보일 것입니다.

이 상황에서 동전이 보일 수 있는 경우는 2가지(앞,뒤) 라고 할수 있으며

행동의 결과로 추측할 수 있는 모든 갯수를 경우의 수 라고합니다.

 

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1.여러가지 확률의 조합

 

 

①확률의 합산

 

 

상자에서 빨간색 공을 꽝이라고 가정하고

초록색이나 노란색중에 하나를 꺼낼 확률을 구하려고합니다.

이때 초록공이나 노란공이 나올 확률은 두 가능성을 합친 뒤에 확률로 계산합니다.

 

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②가능성의 반전

 

 

모든 가능성은 합쳤을때 1이 되는 특징을 가지고 있습니다.

그러므로 1에서 초록공이나 노란공을 뽑을 가능성을 빼면

빨간공을 뽑을 가능성을 구할 수 있을 것입니다.

 

이때 이것을 확률로 표현하자면 빨간 공을 뽑을 확률은

100 - 80 인 20% 라고 판단할 수 있습니다.

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③연속되는 가능성

 

 

경우의 수를 따져봤을 때 동전을 떨어트렸을 때 인물이 보일 가능성은 1/2라고 할수 있습니다.

 

 

그렇다면 두번 떨어트렸을 때 다시 앞면이 보일 가능성은 경우의 수를 따져봤을때 1/4 일 것입니다.

 

 

세번 떨어트렸을때 경우의 수는 1/8이 됩니다.

즉, 여러 가능성을 가진 결과에서 계속 같은 결과를 얻을 가능성은 자기자신의 곱이라고 할 수 있습니다.

 

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④연속되는 서로다른 가능성

 

 

1)결과의 순서가 중요할때

 

 

숫자가 적혀있는 육면체주사위와 사면체주사위가 있습니다.

육면체주사위를 굴려서 숫자 3이 나올 가능성은 1/6 입니다.

사면체주사위를 굴려서 숫자 4가 나올 가능성은 1/4 입니다.

 

 

이 두개의 주사위를 굴렸을 때 육면체 주사위에서 3이 나오고

사면체 주사위에서는 4가 나올 확률을 구한다면

 

두 주사위의 모든 경우의 수를 조합해 봤을때 가능성이 1/24라는 것을 알 수 있습니다.

즉, 서로다른 가능성을 지닌 두 결과의 연속은 가능성 x 가능성 으로 구할 수 있습니다.

 

이때 1/24 는 약 0.041666 이므로 확률은 반올림 없이 약 4.16% 라고 할수 있습니다.

 

 

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2)순서가 상관 없을때

 

 

이번엔 사면체주사위와 육면체주사위를 2번씩 굴렸을때

종류에 상관없이 1,2,3,4 라는 숫자가 얻고싶다고 해봅시다.

주사위가 가질수있는 모든 경우의 수는 6x4x6x4 인 576가지라고 할 수 있습니다.

 

 

이제 1/2/3/4가 가질수있는 여러가지 순서를 하나씩 살펴봅시다.

처음에 주사위에서 1이라는 숫자가 나왔을때 조건을 만족하기 위해선

다음에 2/3/4중에 하나가 나와야 할 것입니다. 그리고 이는 다른 숫자들도 마찬가지일 것입니다.

 

이때 여기까지의 경우의 수는 4x3개 라고 할수 있을 것입니다.

 

 

그리고 두번째 숫자에서는 앞에서 사용한 숫자를 제외하고 남는 숫자가 2개일 것입니다.

 

그러면 여기까지의 경우의수는 4 x 3 x 2 개 가 될 것입니다.

 

 

그리고 마지막으로 1개가 남아서 모든 경우의 수가 4 x 3 x 2 x 1 개 라는것을 알 수 있습니다.

즉 1,2,3,4라는 숫자(숫자 4개)가 순서에 상관없이 나올수있는 모든 경우의 수는 4x3x2x1개 입니다.

 

 

그러니까 6x4x6x4 가지의 경우의 수 중에서 1,2,3,4가 순서 상관없이 나올 경우의수는 4x3x2x1 개가 존재하므로 

 4x3x2x1/6x4x6x4 의 가능성을 지니고 있다라고 결론 지을 수 있습니다.

 

이것을 정리하자면 순서상관없이 결과를 구할 가능성은

(원하는갯수(n) x n-1 x ... x 1) / 전체가능성 이라고 할 수 있습니다.

 

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⑤소모되는 환경의 경우의수

 

 

육면체 주사위를 굴려서 6이 나오고

다시 한번더 주사위를 굴려도 6이라는 숫자는 사라지지 않습니다.

이럴때는 주사위를 두번굴려서 나온는 경우의 수는 6x6이 될 것입니다.

 

 

그러나 6개의 서로다른 색의 공을이들어있는 상자에서 공을 한개 꺼낸다고 했을 때

빨간공을 꺼낸다면 그 이후에는 상자에서 빨간공이 나올 수 없을 것입니다.

이럴때의 경우의 수는 한번 꺼낼때마다 -1이 되어 6 x 5가 될 것입니다.

 

 

만약에 공을 총 4개 꺼낸다고 하면 모든 경우의 수는 6x5x4x3이 될 것입니다.

그리고 그중에서 지정한 4개의 색이 나올 수 있는 경우의 수를 구한다고 해봅시다.

이때 빨간공이 먼저나오고 파란공이 나올 수도 있으며

파란공이 먼저 나오고 빨간공이 나올 수도 있습니다.

이러한 뽑히는 순서에 상관 없이 4개의 색이 나올 경우의 수을 구하는 것이므로

④-⑵에서 설명한 내용에 따라서 그 경우의 수는  4x3x2x1이 될 것입니다.

 

 

그렇다면 상자에서 임의로 4개를 꺼냈을때 지닐수있는 모든 색상의 경우의 수 생각해봅시다.

순서와 상관있는 전체 경우의수 6x5x4x3 에서

1가지의 공의 조합이 그중 4x3x2x1의 비중을 차지합니다.

그렇다면 다른 공의 조합들도 모두다 6x5x4x3 의 경우의 수 중에서 4x3x2x1의 비중을 차지할 것입니다. 

즉, 여러개의 (4x3x2x1)들이 모여서 6x5x4x3의 갯수를 구성한다라고 생각해봅시다.

그렇다면 6x5x4x3 ÷ {4x3x2x1} 하면 총 15가지의 색 조합이 있다는것을 알 수 있습니다.

 

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⑥성공과 실패가 섞인 조합{hard}

 

50% 확률을 5번 시도해서 3번 성공할 확률을 경우의 수로 구해봅시다.

전체 경우의 수는 2×2×2×2×2 인 32가지가 될 것입니다.

여기에서 숫자 2는 100%÷50%로 나오는 숫자를 의미하기도 합니다.

첫번째 시도에서 성공 , 두번째 시도에서 성공 순으로 경우의 수를 훑어 봅시다.

 

 

 

첫번째 시도에 성공했을때 두번째가 어딘가에 성공할 경우의 수는 4가지입니다. 

 

 

두번 성공한뒤에 어디선가 3번째 성공할 경우의 수는 3가지입니다. (4x3)

 

 

즉, 하나는 이미 성공하고

남은 4번의 영역중에서 2번을 성공할 경우의 수는 4x3 입니다.

그러나 2번 동전을 성공하고 3번 동전을 성공하나

3번 동전을 성공한 뒤에 2번 동전을 성공하나 똑같이 취급할 필요가 있습니다.

 

총 두번의 움직임에서 동전들이 앞면이 될 순서의 경우의 수는

소모되는 환경에서의 경우의 수니까 2x1

 

즉 , 순서에 상관 없이 동전의 앞면이 나오는 경우의 수는

4x3 ÷ (2x1) 개가 됩니다. 즉 6가지 경우의 수가 나옵니다.

 

첫번째 시도가 무조건 성공했을때의 경우의 수를 모두 보았으므로

무조건 실패한 뒤 두번째에서 무조건 성공했다고 가정해봅시다.

 

 

여기에서 어디선가 성공할 경우의 수는 3가지가 될 것이고

 

 

두번 성공한뒤 어딘가에서 성공할 경우의 수는 2가지가 될 것입니다. (3x2)

 

 

두번 움직였으므로 2x1 이 다시 나눠지고 이번 경우의 수는 3개가 됩니다.

 

이런식으로 3번째 순서로 반복 되었을때 경우의 수는 1개가 남을 것이며,

이들을 조합하면

(4x3/2x1) + (3x2/2x1) + (2x1/2x1)

으로 10가지의 경우의 수가 나옵니다.

 

즉, 50%가 3번 성공할 가능성은 10/32(2⁵)이며 31.25% 라는 결론이 나옵니다.

 

계산이 맞았는지 확인해봅시다.

 

 

모두 실패하거나 모두 성공할 경우의수 1 x 2

1번만 실패하거나 1번만 성공할 경우의수 5 x 2

2번만 성공 = 3번 실패 = 3번 성공할 경우의수 10 x 2

 

2 + 10 + 20 = 32가지 이므로 제대로 계산한것을 알 수 있습니다.

 

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ex.예제

 

Q. 학생 a,b,c,d,e 중 부회장과 회장 1명씩 뽑을 모든 경우의수를 구해보세요

 

만약에 학생 a가 회장이 된다면 a 는 부회장이 될수 없을 것입니다.

즉, 사용하면 소모되는 환경 이라고 할수 있습니다.

문제에서 원하는 갯수는 부회장/회장 으로 총 2개이며

소모되는 환경에서 5개중에 2개를 뽑는 경우의수를 구하라는 문제로 해석할 수 있습니다.