[적분] 적분의 성질
성질에 대한 부가적인 설명은 접어두겠습니다.
컴퓨터 작성의 한계로 아래의 두가지 작성 규칙을 둡니다.
1.∫²₁ 은 F(2)-F(1)의 범위를 의미합니다.
2.미지수 작성에 한계가 있을때 (-a~a)∫{ f(x) }dx로 작성합니다.
적분의 성질 {암기}
① ∫(ax²+bx) = ∫(ax²)+∫(bx)
② ∫2(x) = 2∫(x)
③ ∫ⁿₓF(x) = F(n)-F(x)
④ ∫²₁(x)+∫³₂(x) = ∫³₁(x)
⑤ ∫²₁(x)+∫¹₂(x) = 0
⑥ ∫{ ƒ(x) }dx + ∫{ ƒ(y) }dy= ∫ƒ(x)dx + ∫ƒ(x)dx
⑦ 짝수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 2∫(0~a)f(x)dx
⑧ 홀수함수 : ∫(-a~a)f(x)dx = 0
<부가 설명>
② ∫2f(x) = 2∫f(x)
dx 일때 x를 제외한 나머지에 대해서만 안/밖의 이동이 가능합니다.
ex)
(d/dx)∫ƒ(x)dx=ƒ(x) ,
∫(d/dx)ƒ(x)dx=ƒ(x)+C ,
∫(d/dx)(ƒ(x)+C₁)dx=ƒ(x)+C₂
만약 (d/dt)∫f(x)dx 같이 서로가 다른 변수일땐 안/밖의 이동이 가능합니다. 같을때 이동이 불가능한 이유는
x의 차수가 달라질때 미적분 값이 x²↔2x , x³↔3x²로 달라지기 때문입니다.
④ ∫²₁(x)+∫³₂(x) = ∫³₁(x)
⑴ 연속 함수에 대해서만 성립합니다.
⑵ ∫ ²₁(x)+∫¹₂(x) = ∫²₁(x)-∫²₁(x)
⑶ ∫ ⁸₁(x)+∫⁰₈(x) = ∫⁰₁(x)
※ 1-8+8-0 = 1-0
⑤ ∫²₁(x)+∫¹₂(x) = 0
계산식중에 F(a)-F(b)↔F(b)-F(a)로 반전되기 때문에 결과가 3↔-3간의 대칭이 됩니다.
⑥ ∫{ ƒ(x) }dx + ∫{ ƒ(y) }dy= ∫ƒ(x)dx + ∫ƒ(x)dx
x와 y가 둘다 변수라면 정의역이 (-∞~∞) 의 범위를 지니므로 f(x)에 대한 치역이 같은 함수입니다.
⑧ ∫(-a~a)f(x)dx = 0
∫(-a~0) = -∫(0~a)
위에서 설명하는 함수는 기함수와 우함수가 맞으나,
①과 맞물려서 사용되면 조금 다른 용도를 지닙니다.
ex)
(-1~1)∫(x³+x²+x+1)
= ∫(x³+x) + ∫(x²+1)
= 0 + 2∫¹₀(x²+1)
어째서 홀수의 지수를 모으면 기함수가 되는가 에 대해서는 삼차함수를 참고합시다.
그래프 모양의 특성상 로그,무리,지수함수에는 위의 식이 적용되지 않습니다.
2.응용
가독성을 위해서 일부 (a~b)∫{ ƒ(x) }dx 는 (a~b)∫ 로 작성되었습니다.
[확장 지식]
끝값의 변수에 임의값 대입
(a~x)∫{ ƒ(t) }dt=x²-4x
이때 양변에 x=a를 대입하면
(a~a)∫ƒ(t)=0 이므로
a²-4a=0
끝값 변수와 적분변수 d값이 같을때
ƒ(x)=(-1~x)∫{ ƒ(x) }dx일때 x=-1을 대입하면 ƒ(-1)=0
적분의 성질에 의한 값 추정
(-2~2)∫=(-2~0)∫=(0~2)∫ 를 만족하는 ƒ(x)는
(-2~2)∫=(-2~0)∫+(0~2)∫ 이므로
이를 만족하는 ƒ(x)=0
절대값의 기함수
x|x|그래프
|x|는 우함수일때
x|x|는 기함수이기 때문에
(-2~2)∫{ x|x| } = 0 가 성립합니다.
x가 곱해질 때마다 기함수와 우함수가 반복되는 이유는
x가 음수일때 x(음수)×|x|(양수)가 성립해서 치역이 아래로 떨어지기 때문입니다.
홀수함수의 곱
ƒ(x)=ƒ(-x)일때 우함수,
n=홀수 일때 xⁿƒ(x)는 기함수
즉, 홀수 함수를 곱했을때
(-a~a)∫(x³-x)f(x) = 0×F(x) 가 성립합니다.
기함수 정리에 의한 범위 축소
g(-x)= - g(x)일때 기함수,
(-2~3)∫ = (-2~2)∫+(2~3)∫ = (2~3)∫
홀수함수 정리에 의한 범위 확대
중심점이 x=½인 ƒ(x) 에 대하여 ∫(0~1)=0 이 성립한다면
(1~10)∫ = (0~1)∫+(1~10) = ∫(0~10)∫
짝수함수 정리에 의한 범위 변동
중심축이 -1인 좌우 대칭함수 f(x)에 대하여
(-2~2)∫ = ∫(-2~-1~0)∫+(0~2)∫ = 2∫(-2~1)+∫(0~2)
[기본]
①
∫₁³+∫₂⁴+∫₂³
= ∫₁³-∫₃²+∫₂⁴
= ∫₁²+∫₂⁴
= ∫₁⁴
②
(9~10)∫
= (9~0)∫ + (0~10)∫
= (0~10)∫ - ∫(0~9)∫
③
(-2~1)∫+(-1~2)∫
= (-2~0)∫+(0~1)∫+(-1~0)∫+(0~2)∫
= ∫(-1~1)+∫(-2~2)
④
(-a~a)∫{ 5x⁴+3x³-7x-1 }dx
= ∫{5x⁴-1}+∫{3x³-7x}
= (0~a)2∫{5x⁴-1}
[풀이]
t로 치환한 홀수함수
ƒ(x)=x³-2x + ∫⁴₀{ ƒ(t) }dt
∫⁴₀{ ƒ(t) }dt = k 라 하면
ƒ(x)=x³-2x+k
F(t)=∫(t³-2t+k)
F(t)=k
F(t)=∫⁴₀{ ƒ(t) }dt
[테크닉]
변수에대한 범위
(1~3)∫{ f(t) }dt = (1~x)∫{ f(t) }dt + (x+3)∫{ f(t) }dt