허수와 복소수
1.허수
①i의 개념
생각해보면 2의 제곱근은 ±√2 입니다. 합,차,곱을 하더라도 부호가 √의 밖에 존재하게 됩니다.
그렇기 때문에 위 처럼 루트안에 음수가 들어가는 것은 일반적인 루트계산으로는 존재할 수가 없습니다.
다만 수학적으로 계산을 용이하게 위해서 (ex.음수의 제곱근) 개념적으로만은 존재의 의의가 존재합니다.
그래서 만약 어떤 숫자에 √(-1)을 곱한다면 , 그 숫자는 개념적으로만 존재하는 숫자 즉, 허수가 될 것입니다.
다만 허수를 표현 할때마다 √(-1)의 곱임을 일일히 적기보단
이에대한 줄임말인 i(imaginary number) 라는 기호를 사용하게 됩니다.
②i의 제곱
이해가 어렵진 않습니다만 아래의 특성과 헷갈리지 않도록 주의해야합니다.
③i의 특성
1)i식의 정리
2)인수분해 특성
단순히 인수를 전개하면 나오는 결과입니다.
3)제곱의 특성
4)양의 제곱근과의 조합
강조한 조합은 꼭 헷갈리지 맙시다.
2.복소수
복소수란 실수와 허수의 조합으로 이루어져있는 식을 의미합니다만
그렇게 따지면 음수도 허수니까 '2-1' 도 복소수가되니 어디까지나 사전적 의미입니다.
실제 뜻은 허수 i 가 붙어있는 수와 아닌 수의 조합으로 이루어져있는 식이라고 보는 것이 맞습니다.
a가 0 일때 순허수 라고하며, b가 0 일땐 그냥 실수라고 합니다.
①특징
1)합차
복소수는 합차와 관련하여 허수항과 실수항이 서로 분리되어 있습니다.
2)곱
복소수의 곱은 두개의 인수를 전개하는 과정과 같습니다. 단, i²=-1이 된다는 점에 유의해야 합니다.
3)계수비교법의 성립
복소수는 허수항과 실수항 간의 서로 분리되는 특성 덕분에 계수비교법이 성립합니다.
②켤레복소수
허수항의 부호를 반대로 반전한식을 켤레복소수라고 합니다.
식에 기호가 있다면 기호위에 작대기를 그어줍니다.
1)켤레근
먼저 근의 공식을 다시 살펴봅시다.
만약에 여기에서 4ac > b² 가 된다면 허수i가 발생하게됩니다.
이때 -b 항과 함께 복소수의 형태를 지니게되는데, 공식의 ±√ 의 특성상 두 근은 서로 켤레복소수가 됩니다.
그래서 복소수의 근이 존재한다면 반드시 켤레근이 존재한다고 할수 있습니다.
+같은 이유로 유리수+무리수(ex.3+√2)의 근도 반드시 켤레근이 존재한다고 정의됩니다.
이때 허수i 단위를 허용하는 근의공식을 복소수범위 인수분해 라고하며,
이렇게 구해진 i가 들어간 근을 허근이라고 합니다.
i가 없는 일반적인 근은 실근이라고 합니다.
2)대칭
본래 허수i 는 특징상 그래프에 표현이 안됀다는 점에 명심합시다.
위의 예시는 어디까지나 시각적으로 이해하기 위한 가상의 그림입니다.
켤레근은 실근 축으로 서로 대칭되는 위치를 가집니다.
3.응용
A1)
A2)
A3)
A4)
허수i와 미지수가 들어간 이차방정식의 실근을 구한다면 a+bi 형태로 묶어준뒤 b=0 이라고 판단합니다.
허수i가 들어간 이차방정식은 실근을 지닐 수 없기 때문입니다.
A5)
