[함수의 극한] 극한과 정형
극한 과목은 실사용 예제가 없습니다.
이후에 배울 미분과 적분을 하기위해서 거쳐가는 기초 과목이기 때문입니다.
극한이라는 수학 과정이 정확하기보단 추상적인 부분이 어느정도 있기 때문에
이 과목에 대해서 깊숙히 생각하지 않는 것을 추천합니다.
왜 그런가에 대해선 아래에서 내용에서 후술 합니다.
작자는 컴퓨터 입력상의 한계로 인해서 lim 기호 대신에 (x→a)로 적어서 사용하고 있습니다.
1.개념
[극한]
1.정의
x는 0에 한없이 가까워지는 숫자라는 뜻이며
리미트(limit) x 라고 읽습니다.
수직선 위에 0이라는 숫자가 있을때
그 0의 바로 옆에 존재하는 초미세한 차이의 숫자를 의미합니다.
일반적인 방정식 외에 함수등의 모든 미지수에 존재하는 x값을
일관적으로 (x→0)으로 지정하는 효과가 있습니다.
2.좌극한과 우극한
lim X 에 대한 좌극한을 lim(x→0-)X , 우극한을 lim(x→0+)X 라고하며
-가 붙으면 x보다 작은 극한 , +가 붙으면 x보다 큰 극한이 됩니다.
3.함수표현
x에 극한값을 대입하여 나오는 함수의 결과 값을 미지수로 L로 지정합니다.
이때 (x→0)를 대입한 값과 x=0을 대입한 값은 서로 같다고 정의합니다.
이렇게 정의된 내용을 지키기 위해서 극한은 두가지 조건규칙을 지닙니다.(아래 후술)
4.극한의 조건
① X⁻=X=X⁺
② X≠∞
이 개념은 어느 한 지점에 대한 극한 조건입니다.
즉, 이 식이 성립한다고 해서 다른 구간에서도 모두 극한이 존재한다고 할 수 없습니다.
e.극한의 추상적인 문제점
극한의 정의 자체가 추상적이기 때문에 사용에 주의가 필요합니다.
지정한 숫자에 한없이 가까워진다.
수직선상 지정한 숫자의 바로 옆
0의 바로 옆숫자가 0.1 이라면 , 그보다 가까운 0.01도 있고 0.001도 있습니다.
그래서 수직선상에서 특정한 숫자의 바로 옆이라는 개념이 존재할 수도 없고
한없이 가까워지는 숫자라는 개념도 미찬가지로 기준이 존재할 수 없습니다.
①
다만, 숫자간에 인간이 인지하지 못하는 이하의 차이가 존재한다면
인간의 입장에서 원본과 극한값이 다를바가 없어지기 때문에
(x→0) 일때 x=0와 같다고 판단됩니다.
②
그런데 이런경우는 어떨까요?
(x→1) x/(1-x)
1-x가 실제로 0은 아니기 때문에 분수가 성립하게 됩니다.
인간이 인지하지 못하는 작은 값으로 1을 나눴을때
이 숫자를 몇번 나눌 수 있는지 알수 없습니다.
그래서 이 때의 값은 ∞를 지닙니다.
그러므로 (x→1) 은 ①에 의해서 x=1과 같지만
②에 의해서 x=1과 다른 숫자입니다.
서로 상반되는 ①개념과 ②개념이 서로 부딪히기 때문에
극한에서 지정된 값을 대입하는 것은 식을 끝까지 정리한 뒤의 마지막이 되어야 합니다.
이에 대해서는 아래에서 설명합니다.
[부정형]
1.개념
정형: 정해진 값이 존재하여 일반적인 연산이 가능한 형태의 수 입니다.
부정형 : 연산의 정확도가 불분명해서 기존과 다른 연산이 필요한 수 입니다.
2.0과 ∞
부정형은 0과 ∞로 두가지가 존재합니다.
무한대 : lim(x→∞)X
무한소 : lim(x→0)X
3.발산과 수렴
발산 : 정해진 숫자없이 지속적으로 확산되는 수치를 의미합니다. (ex. x→∞)
수렴 : 정해진 수치를 향해 점진적으로 확산이 감소하는 것을 의미합니다. (ex. x→0)
4.부정형 기본풀이
아래의 식들은 (x→∞) , 에서와 x→0가 아닌 비정형에서 성립합니다.
(x→0)일땐 오히려 최고차항이 제곱될수록 작아지기 때문에
최소차항 혹은 상수항만이 계산의 기준이 됩니다.
①x³-3/x² = ∞ : 분자의 ∞가 더 크기때문에 ∞가 됩니다.
②3x²+1/x³ = 0 : 분모의 ∞가 더 크기때문입니다.
③2x²/3x²+x = 2/3 : 최고차항 외에는 비교적 값이 극미하므로 무시합니다.
5.부정형의 정리
∞/∞ = ∞ * 1/∞ = ∞*0 = (0/0)
⑴무한대 / 무한대
⑵분자 분모의 분리
⑶극소량 1/∞ 은 0과 같음
⑷∞ 는 1/0과 같음으로 분모에 쓸수 있음.
위의 정리는 분수에서의 무한소 끼리의 계산과 무한대 끼리의 계산에서
역수로 취하여 무한소를 무한대로 , 무한대를 무한소로 바꿀수 있다는 개념입니다.
0/0에서 0은 극히 작은 값 Δ(델타)를 의미하므로 주의합시다.
2.응용
[기본]
1.부정형의 분모 계산방법
x에 먼저 1을 대입하면 분모가 0이 되어 식을 구할 수 없으나
식을 통분해서 인수분해로 분모를 정리하면 x=1을 대입했을때 1라는 값이 나옵니다.
무한대 또한 계산시에 이를 적용합니다.
2.부정형의 분수가 상수항만 다르다면
분수함수 정리로 1 - 1/(x+2) 그러므로 1 - 1/∞ = 1-0 = 1 이 됩니다.
3.최고차항 외에는 무시하는 이유
위의 과정에서 2/x² 와 x/x² 은 0이 되기 때문에 최고차항의 계수만 남게 됩니다.
본 과정이 원래의 정석적인 계산 방법입니다.
4.무한대 ∞/∞의 성립 조건
값이 발산하지 않기 위해선 최고차항의 분자 분모가 같아야 하므로
a=1이 되어 x² 의 값을 제거합니다.
5.무한소에 의한 최대차항 추정
위의 식에서 분모는 →0⁻ 이므로 ƒ(x)→0이며 최대차항이 같습니다.
즉 ƒ(x) 는 2x+b 가 됩니다.
6.좌극한 = 우극한
(x→0)에서 a[x]³-2b[x]²+3 라고 할때
좌극한 0⁻ 이면 a(-1) ,
우극한 0⁺ 이면 a(0)
이때 극한값이 존재하기 위해선 두 식의 결과가 같아야하므로
-a-2b+3=3 의 식으로 정리됩니다.
[확장 지식]
1.t에대한 극한의 표적 변경
⑴ x→-1 일때 t=-x 라고 정의하면 t→1 로 바꿔 정의할 수 있습니다.
⑵ x→0⁺ 에서 t=1/x 라고 정의하면 t→∞ 로 바꿔 정의할 수 있습니다.
⑶ x→1⁻ 에서 t=1/x라고 정의하면 t→1⁺로 바꿔 정의할 수 있습니다.
⑷ x→∞ 일떄 t =1 -1/x라고 정의하면 1-Δ 이므로 t→1⁻ 입니다.
2.가우스의 극한
⑴ x→1⁺ 에서 [(x-1)+4] 는 [4⁺] 이므로 4 입니다.
⑵ x→2⁻ 에서 [2x] 는 [4⁻] 이므로 3 입니다.
⑶ x→3⁻ 일떄 [(x-3)²+4] 는 음수가 제곱되어 [4⁺] 이므로 4 입니다.
3.조건함수와 좌우극한
f(x)가 {(x>1) : x² , (x≤1) : x} 의 조건함수이며,
(x→-1)에서 f(x)의 값을 구할때
좌우극한에서 ƒ(1⁺)는 x² , ƒ(1⁻)는 x가 됩니다.
값을 대입했을때 1=-1이 되므로 이 조건함수는 x=-1에서 극한값이 존재하지 않습니다.
[풀이]
1.무한대 ∞-∞ 의 무리수
A-B에서 A와 B가 같은 최대차항을 지니고 있으나 -3x 와 3x의 차이가 있습니다.
{A+B/A+B}를 곱해서 -6x/{√(x²-3x)+√(x²+3x)}이며
얼추 추려보았을때 분자의 최고차항 계수는 -6 , 분모의 최고차항계수는 2 입니다.
무한대에 대한 기본 풀이에 의해서 위의 값은 -6x/2x=-3가 됩니다.
[테크닉]
[x]=x-a 혹은 x+a로 표현이 가능합니다.
위의 식이 x→∞ 일때 분모와 분자의 최대계수가 일차항 1/1 이므로 값은 1이 됩니다.