입체도형의 부피와 겉넓이

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1.입체도형의 겉넓이와 전개도

 

 

①기둥의 겉넓이

 

 

기둥의 겉넓이는 밑/아랫면의 넒이와 모든 옆면의 사각형 넓이를 합친 값 입니다.

옆면의 사각형들은 밑/아랫면의 변의 길이를 같이 공유합니다.

기둥의 면의 갯수는 n + 2 개가 되며, (n = 3각기둥의 숫자 3)

꼭지점의 갯수는 2n 이 됩니다.

 

 

원기둥의 경우 변의 길이가 원의 원주와 같다는 점을 생각해봅시다.

 

 

②뿔의 겉넓이

 

 

기둥과 마찬가지로 아랫면의 넓이와 모든 옆면의 삼각형의 넓이를 합친 값 입니다.

옆면의 삼각형들은 아랫면의 변의 길이를 같이 공유합니다.

뿔의 면과 꼭지점의 갯수는 n + 1 개가 됩니다. (n = 4각뿔에서 4)

 

원뿔에서 옆면은 부채꼴의 모양이 됩니다. 

옆면의 직선부분은 모선의 길이에 해당합니다.

 

부채꼴의 넓이/각도를 구하는 방법은 이전에 다룬바가 있습니다.

 

 

③구의 겉넓이

 

 

구는 평면에 완벽하게 평행하도록 펼칠 수 없습니다.

그래서 구는 전개도를 그릴수 없습니다.

 

구의 겉넓이는 4πr² 이 되며 (r = 구의 중심에서 면을 향하는 직선의 길이)

이에 대한 이유는 아래의 ①번에서 설명합니다.

 

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1. 입체도형(다면체) 의 모서리는 항상 꼭지점 + 면의갯수 - 2 개를 지닙니다.

2. 넓이는 S(Square) 로 표기합니다.

3. 높이는 h(height) 으로 표기합니다.

4. 부피는 V(Volume) 으로 표기합니다.

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2.입체도형의 부피

 

 

①기둥의 부피

 

 

기둥은 밑넓이의 넓이가 높이(h) 갯수만큼 반복된 크기의 부피를 가진다고 할 수 있습니다.

여기에서 밑넓이를 S 라고 한다면,

기둥의 부피는 Sh(밑넓이 x 높이) 라고 할수 있습니다.

 

 

②뿔의 부피

 

 

뿔의 부피는 밑넓이와 높이가 같은 기둥 의 1/3 크기를 가지게 됩니다.

뿔의 부피는 1/3 x Sh(밑넓이 x 높이) 라고 할 수 있습니다.

이에 대한 이유는 아래의 ②번에서 설명합니다.

 

 

③구의 부피

 

 

구의 부피는 4/3 x πr³ 입니다.

이에 대한 이유는 아래의 ③번에서 설명합니다.

 

 

④부피 간의 비례

 

 

같은 너비와 깊이(밑넓이 와 구를 반원으로 만들었을때의 밑넓이) 그리고 높이를 지녔을 때,

기둥 : 구 : 뿔 은

3 : 2 : 1 의 비율을 지니게 됩니다

 

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Ex.증명

 

 

①구의 겉넓이가 4πr² 인 이유

 

 

 

같은 높이와 너비를 가지는 원기둥을 옆에두고, 동일한 위치에 링을 씌워봅시다.

그리고 동일 선상 위에 파란 사각형 모양의 점을 찍었을때,

이 둘의 모양은 위의 그림과 같을 것입니다.

 

 

 

원기둥안에 구를 넣고 옆모습을 단면으로 반 잘라서

파란 점의 지점을 확대해서 보면 위의 그림과 같을 것입니다. 

 

 

 

구의 중심에서 원의 표면을 향해서 선을 그었을때,

 

 

표면과 중심간의 선은 언제나 수직이됩니다.

 

이 점을 이용해서 선을 더 그어서 각도를 비교해보면,

하얀 삼각형 두개는 3개의 각 이 같아 서로 닮은 삼각형인 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

이때 , 닮은 삼각형들은 길이의 비율이 서로 같으므로 d:r=ⓝ:ⓜ 입니다.

(d : direction : 직선, r : 반지름, ⓝ : 원기둥 표면의 옆길이, ⓜ : 구 표면의 옆길이)

이는 삼각형의 합동과 각도 부분에서 설명한 적 있습니다.

 

 

 

이번엔 구와 원기둥을 윗모습에서 잘라봤을 때,

원의 중심에서 구의 빨간면과 원기둥의 파란면의 양 끝을 선으로 이어봅시다.

 

 

 

이때 빨간선을 기준보이는 삼각형, 파란선을 보이는 삼각형 이 둘은

모든 내각이 같은 닮은 삼각형 일 것입니다.

 

 

 

그렇다면 여기에서도 비슷하게 d : m = r : n 이라는 사실을 알 수 있습니다.

(d : direction : 직선, r : 반지름, ⓝ : 원기둥 표면의 윗길이, ⓜ : 구 표면의 윗길이)

 

 

 

이제 이 선들을 밖에서 살펴보면

비율에 사용한 d는 같은 선임을 알수 있고,

r은 결국 반지름이므로 길이가 같다는것을 알 수 있습니다.

 

 

이제 이렇게 구한 비율들을 분수로 바꿔서 n 과 ⓝ을 기준으로 정리해줍니다.

 

 

 

그런데 n x ⓝ 는 원기둥 표면의 점의 넓이입니다.

여기에 정리한 식을 대입해보면

 

구의 점의 넓이와 원기둥의 점의 넓이가 같다는 결론이 나오게 됩니다

 

 

 

이를 다른말로 표현하자면, 같은 상하굵기를 가지는 두 선은 같은 넓이를 지닌다는 것입니다.

 

 

 

그렇다면 결국 원기둥의 옆면의 넓이는 원의 겉넓이하고 같다는 뜻이 됩니다.

 

 

 

 

이때 원기둥 윗면은 원주(2πr)

옆면은 지름(2r) 이 되므로

2πr x 2r = 4πr² 입니다.

 

즉, 원의 겉넓이는 4πr² 입니다.

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②뿔의 부피가 기둥의 1/3인 이유

 

 

먼저, 뿔의 부피는 높이와 밑넓이가 같으면 언제나 서로 같다는 것을 알아야합니다.

 

 

 

두개의 삼각 뿔이있고, 밑넓이를 각각 S 와 s, 높이를 h 라고 해봅시다.

 

 

 

이 둘의 합쳐서 사각뿔을 만들었을때,

사각뿔은 삼각뿔 둘을 합친 부피를 지닐 것입니다.

 

 

 

 

만약에 S + s 를 2등분하는 밑넓이를 가진 A 와 a 의 두 삼각뿔을 합쳤을때,

이 사각뿔의 부피도 두 삼각뿔의 부피의 합을 지닐 것입니다.

그런데 여기에서 (A + a) + (A + a) = 결국 S+s 입니다.

 

 

 

즉, 같은 밑넓이에 같은 높이를 지닌 이 두 사각뿔은 같은 부피를 지닙니다.

 

 

 

 

다시 본론으로 돌아와서 이번엔 삼각기둥을 3등분해서

삼각뿔을 3개 만들었습니다.

 

 

 

각기둥의 옆면은 직/정사각형 일 것이므로,

이것을 2등분한 두 삼각형은 같은 넓이입니다. 

 

그림에 표기된 두 삼각뿔은 같은 높이와 같은 밑넓이를 지녓으므로 부피가 같습니다.

 

 

 

남은 삼각형 또한 이 방식으로 같은 부피를 지닌다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

이러한 사실로 밑넓이와 높이가 같은 뿔은 기둥의 1/3 부피를 지닙니다.

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③구의 부피가 4/3 x πr³인 이유

 

 

 

이번엔 원의 중심을 꼭지점으로 파란점의 밑넓이를 가진 사각뿔을 만든다고 해봅시다.

 

 

 

무수히 많은 사각뿔들로 원의 내부를 가득 채운다고 가정 했을 때,

 

 

 

이렇게 만든 모든 사각뿔의 부피를 합치면 원의 부피가 될 것입니다.

이때, 모든 부피의 합을 정리하면 S + .... S 는 결국 원의 겉넓이를 뜻합니다.

이 식에 겉넓이의 식을 적용해서 정리해보면

 

구의 부피는 4/3 x πr³ 입니다.

 

아니 중딩과정에서 이유를 설명하려면 고딩과정이 필요한게 말이 되는 처사입니까? 애들이 수학 배우는 순서가 진짜 이게 맞는거에요? 그냥 이건 그런줄 알고 넘어가 이러고 얼렁뚱땅 넘기는게 진짜 맞는거나구요 이런식이면 이해도 안돼는 걸 누가 수학 좋아합니까 배우는 순서가 잘못된거 아닙니까 이건