[삼각함수 完] 삼각함수의 공식 (증명 無)

 

단원에 들어가기 전에 몇가지 규칙을 설명합니다.

 

1.

 

변 a 의 대각은 대문자 A 로 지정합니다. 마찬가지로 b 대각은 B , c 대각은 C 입니다.

 

2.

 

모든 삼각형은 중심에 수선을 그어서 직각 삼각형을 만들 수 있습니다.

즉, 삼각형은 두 직각 삼각형의 합입니다.

여기에서 말하는 Sin A란 이 직각 삼각형에대한 sin값을 의미합니다.

 

3.

r은 내접원의 반지름 , R은 외접원의 반지름입니다.

 

4.

공식이 한,두가지가 아니라서 분량 초과로 증명하지 않습니다.

 

---

1.암기

 

1.사인법칙

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

a=2R*sinA 

 

※추가설명

⑴a:b:c = sinA:sinB:sinC

⑵R은 주로 삼각형의 넓이 공식에서 추출합니다.

---

2.제 1 코싸인 법칙

a=b×cosC+c×cosB

 

※추가설명

정규과정에서 사라졌습니다.

---

3.제 2 코싸인 법칙

a² = b²+c²-2bc*cosA

cosA = (b²+c²-a²)/2bc

 

※추가설명

변의 길이만으로 cosA를 구하는 방법에 더 가깝습니다.

---

4.삼각형의 넓이 공식

①S=½bc*sinA
②S=abc/4R
③S=2R²*sinA*sinB*sinC
④S=½r(a+b+c)

⑤t=(a+b+c)/2 일때 S=√t(t-a)(t-b)(t-c)

 

※추가설명

⑤은r과 삼각비를 사용하지 않는공식 이므로 외워야 합니다.

⑤은 헤론의 공식이라고 합니다.

---

5.평행사변형의 넓이 공식

1.S = ab*sinX (x= ab의 끼인각)
2.S = ½ab*sinX (a,b는 대각선 , x= 끼인예각)

 

---

2.응용

 

[확장 지식]

 

1)사인법칙과 원

 

 

각 꼭지 3개를 기준으로 현을 그어서

호의 길이를 3대 4대 5라고 나눴다고 해봅시다.

그러면 이때 중심각의 각도는 같이 3대 4대 5로 나눠지는 모습이 보이시죠?

즉 , 호를 나눈 비 3:4:5 일때 중심각의비도 3:4:5 입니다.

 

※[사인법칙의 증명]

그런데, 원주각A에 대해서 파란 중심각이 존재합니다.

중심각은 원주각의 2배이므로 A는 파란 중심각과 비례합니다.

 

그렇다면, 삼각형의 내각들은 3/2 : 4/2 : 5/2 = 3:4:5 라고 할수 있지 않을까요?

그리고 파란 중심각에 대한 대변의 길이는 서로 비례할 것이므로 중심각이

3:4:5의 비를 지닌다면 대변도 3:4:5의 비를 지닐 것입니다.

최종적으로 , 원주각과 대변을 서로 이으면 a:b:c = A:B:C 가 됩니다.

 

 

여기에서 sin은 높이/빗변이란걸 생각해봅시다.

하나의 각이 90도일때 빗변은 언제나 지름이 됩니다.

그렇다면, 삼각비에서 sin A,B,C의 다른점은 서로의 높이의 비 뿐이란 것이고

위에서 설명한 대로 대변은 대각과 서로 비례합니다.

그럼 각이 3:4:5 일때 대변도 3:4:5 이므로 sin값도 3:4:5의 비를 지닙니다.

 

높이a ÷ SIN(높이a/지름) 을 계산함에 따라 2R이 되는건 덤입니다.

 

※삼각형의 대변이 대각과 비례하여 같은 비로 증가하는가에 대한 증명은

연역법(직접실험관찰) 으로 증명할 수 밖에 없습니다.

 

 

2)법칙의 사용예제

 

 

(사인법칙)

위의 식에서 사인법칙에 따라서 세 변은 5k,6k,7k 이며 5:6:7의 비를 지닙니다.

 

(제2코사인법칙)

2코사인법칙에 의해서 (길이로만 cos을 구하는 공식) cosB = ½ 이므로 B= 60°

 

(사인법칙)

그러면 sinB=√3/2가 되며 6k / (√3/2) 에 따라서 지름은 4√3k가 됩니다. 

 

---

[기본]

 

①

a=10 , ∠A=30° , b=10√3 일때 사인 법칙에 의해서 ∠B를 구합니다.

 

②

∠A,B,C가 1:1:2 일때 

x+x+2x=180

∴ 45°,45°,90°

 

[테크닉]

 

①

A=60° , a=2√2 , b+c =√10 

→

식 1 : (b+c)² =10 → b²+c²+2bc=10

식 2 : b²+c²-2bc*(√3/2)=(2√2)² (2코싸인법칙)

 

∴ bc=2/(2+√3)

 

※이 과정은 합이 주어져야만 하기에 사용세가 매우 제한적이지만 모르면 대응할 방법이 없어 적습니다.

 

②

sin(A+B):sin(B+C):sin(C+A)

→ sin(π-C):sin(π-A):sin(π-B)   ∵A+B+C=π

∴  sinC:sinA:sinB

 

③

2sinA=√3sinB=2√3sinC

÷2√3

→sinA/(√3) = sinB/(2) = sinC/(1)

∴  √3:2:1

 

④

 

둘레가 주어진 사다리꼴의 넓이는

헤론공식과 평행사변형 공식을 더해서 구할 수 있습니다.

 

---

[심화]

※이번 심화 내용 자체는 어렵지 않습니다.

다만, 수선의 비를 이용할 생각을 떠올리는 그 구상력이 이 문제를 어렵게 만듭니다.

단순히 지나치기엔 사용세가 있으므로 집고 넘어갑시다.

 

대변에내린 수선이 2:3:4 일때

수선을 2h,3h,4h로두고 각변 a,b,c를 밑변 길이로 생각해봅시다.

넓이 S=밑변×높이½일때

a=S/h , b=2S/3h , c=S/2h 입니다. 세 값에 6h를 곱한다면

∴ a:b:c=6:4:3

 

즉 , 이를 역순 으로 하면 세변에대한 각각의 삼각형의 높이를 구할수 있습니다.

 

---

[기타]

 

본래에.. 사인법칙/코싸인법칙/삼각비 변환공식/ 을 대입해서 주어진 식을 변형하고

이 삼각형의 모양이 무엇인지 맞추라는 그런 문제들이 있었습니다.

개념의 이해를 벗어나서 식 변형에 대한 연습이 목적인것 같은데..

 

1.sin²A=sin²B+sin²B : 직각삼각형 
2.asin²A=bsin²B : 이등변삼각형 (제곱이 없어도 성립)

→ 1,2번은 사인법칙입니다. sinA는 변 a 라고 생각하고 읽어봅시다.

 

3.acosB-bcosA=c : A=90°인 직각삼각형 

4.tanAcosC=sinC : a,c변의 이등변삼각형 

→tanA 는 cos/sin 이니까 sin을 소거하고 cos만 남습니다.

→3,4번은 2법칙으로 cos 을 a,b,c에 대한 식으로 치환하여 정리하라는 식입니다.

 

---

[삼각함수의 실사용]

 

나무의 꼭지를 2m 거리에서 1m 키의 사람이 30도의 높이로 올려다 보고있을때 나무의 크기는 몇일까요?

 

>나무가 수직일때 시야 범위의 삼각형은 30도 90도 60도이며

사인 법칙에 의해서  2 / sin 60 = x / sin 30 입니다.

√3 = 2x 이므로 x= √3/2 가 되고 키가 1m 이므로 나무의 크기는 약 √3/2+1m 입니다.

 

※약 이 붙은 이유는 눈~정수리 까지의 높이를 빼지 않았기 때문입니다.

 

---

삼각함수 完