[삼각함수] 삼각비와 삼각함수의 관계

 

글의 제목과 주제가 조금 어긋나 있을 수 있습니다.

그만큼 이 주제가 어떤 것 이라고 분류하기 힘든 개념의 요소이기 때문입니다.

길게 설명하자면 삼각함수에서 X란 무엇이고 그것이 삼각형의 변과 어떤 관계를 지니고 있는가?

를 주제로 하고 있습니다.

 

그래프에 대해서는 다음 단원에 다룹니다.

 

주제의 분류가 힘들기 때문에 기존이 객체지향이였다면 이번엔 절차지향으로 작성되었습니다.

 

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[삼각함수]

 

 

 

위의 식에서 x의 값은 무엇일까요?

육십분법으로 x=30° , 호도법으로 π/6 입니다.

즉, 삼각 함수에서 X는 각도를 의미합니다.

 

삼각함수에서 X가 각도를 의미한다면,

X의 값과 sin 간엔 어떤 관계가 있을지 봅시다.

 

이를 이해하기 위해서 삼각형의 빗변을 동경으로 한바퀴를 돌려봅시다.

 

 

분수는 분자가 높을수록 큰 값을 지니기 때문에

분자의 값이 크면 클수록 Sin의 값은 커집니다.

Cos도 같은 개념으로 분자와 분모를 지니므로 같을 것입니다.

 

 

분자의 값이 높아질 수록 삼각형이 지닌 각도는 같이 정비례합니다

Cos은 밑변이 길어질수록 각도가 반비례할 것입니다.

Tan는 기울기를 뜻한다는 것을 생각해보면 x값에 비례해서 기울기가 증가하고 있습니다.

 

 

 

만약 x 값이 수직인 π/2(90°)가 된다면,

그 모양은 이미 삼각형이 아닌 위로 솟은 하나의 선이될 것이며

이때 분모하고 분자가 둘다 수직하게 같은 길이를 지니게 되므로 sin은 1의 값을 지니게 됩니다.

cos은 밑변의 길이가 존재하지 않으므로 0이 될겁니다.

tan는 높이÷너비 에서 1/0 라고 해본다면... 성립하지 않아서 예외적으로 값이 없다고 합니다.

 

그런데 x의 값이 만약 π/2(90°)를 넘어간다면 어떻게 될까요?

 

 

 

x의 값이 올라갈 수록 Sin의 높이가 삼각형에서 차지하는 비가 떨어지기 시작합니다

cos의 경우 분자의 값인 너비가 삼각형에서 차지하는 비가 증가하게 됩니다.

tan는 역방향으로 반전된 기울기가 서서히 0을 향하고 있습니다.

 

 

x=π(180°) 에선 x=π/2와 설명이 비슷하겠죠?

sin 값은 0이 될 것이며

cos은 -1이 될 것이며

tan는 0/-1 이니 0이 됩니다.

 

길이는 음수라는 개념이 없는데 이게 무슨 소리인가 하면,

삼각함수가 좌표평면의 원점을 기준으로 정의되고 있기 때문에 발생하는 문제입니다.

여기에서 음수가 의미하는 것은 방향을 뜻합니다.

 

 

각도가 π를 넘어간뒤,

시초선인 x에 대해서 선의 방향이 반전되었기 때문에 sin이 음수로 표현되기 시작합니다.

tan 에서 선의 기울기가 1사분면과 같아진뒤 점점 가파른 모습이 되어갑니다.

 

 

각도가 2π를 향해 다가가면서 다시 1사분면을 향해 움직입니다.

1사분면에 도달한 각도는 다시 위의 과정을 반복할 것입니다.

 

이렇게 지금까지 삼각형의 빗변을 한바퀴 돌려봤습니다.

즉 Sin 과 각도 X의 관계는 사분면에 따라서 비례 반비례를 반복하는 관계라고 할 수 있습니다.

 

이때 sin은 90°, 270° 에서 최대가 될 것이므로

그 값이 항상 -1≤sin≤1 , -1≤cos≤1 을 넘지 않는다는 것도 알수 있습니다.

 

tan 는 1/0 이라는 계산할수 없는 수치에 의해서 값이 존재하지 않는 구간들이 존재하며

0이 한없이 작아지는 범위에서 -∞≤tan≤∞ 라고 표현되어지고 있습니다.

 

만약에 빗변의 길이를 1로 고정하고 제자리에서 각도 x값만 바꾼다면 어떨까요?

 

 

그 모습은 원을 그릴 것입니다. 그렇다면

삼각함수의 값은 원의 호를 따라서 이동하고 있는 점이 특정 각도에서 지니는 (x,y)의 위치

를 의미한다고 할수 있지 않을까요?

 

그렇다면 sin의 값과 cos의 값의 의미가 조금 달라질지도 모릅니다.

 

 

빨간점이 존재하는 좌표는 (0,1)

영점을 기준으로 90도 방향으로 cos,sin값 (0,1)

 

 

빨간 점이 존재하는 좌표는 (-1,0)

영점을 기준으로 180도 방향으로 cos,sin값 (-1,0)

 

이제 sin 함수와 cos 함수의 의미가 무엇인지 조금 감이 잡히시나요?

cos 함수는 원위의 x 좌표 , sin 함수는 원위의 y좌표가 됩니다.

그리고 tan는 반지름의 기울기가 되겠죠.

 

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[삼각비의 음양구간]

 

 

이 구간에서 수상하리만치 외우게 시키는 암기거리입니다.

얼싸안고 라고 읽습니다.

뜻은 각 사분면에서 유일하게 양수인 삼각비들을 의미합니다.

1사분면에서 전부양수

2사분면에서 sin만 양수

3사분면에서 tan만 양수

4사분면에서 cos만 양수

 

이 삼각함수가 어느 사분면을 의미하는가 묻는 그런걸 해결하기 위한 용도 같습니다.

 

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[역삼각함수]

 

그냥 삼각비의 역수를 간단히 쓰는 용도입니다.

 

csc(코시컨트) = 1/sin

sec(시컨트) = 1/cos

cot(코탄젠트) = 1/tan

 

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[삼각비 변환공식]

 

①tan = sin/cos (y/x이므로)
②sin²+cos²=1 (반지름r=1이므로 피타고라스 정리에 의해)
③1+tan² = sec² (②식을 대입해서 정리한 결과)

 

※추가설명

삼각비의 제곱은 sin²θ 로 나타내며 근호를 붙여서 √sin²θ 일때 |sinθ| 로 표현됩니다.

 

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응용

 

[추가 지식]

 

1)tanX 값 하나만 안다면 cos , sin 값을 구할 수 있습니다.

tan = 3/4 일때 3²+4²=5² 

그러므로 빗변비가 5일때 sin = 3/5, cos = 4/5 입니다.

 

2)삼각함수의 최대최소

-cos²+4cos+2

= -(t-2)²+6 (t=cos)

최대값 : -(-1)²+6  (∵ -1≤t=cos≤1)

 

[기본]

 

-sin²+4cos+5

= (cos²-1)+4cos+5

 

[테크닉]

 

①sinθ + cosθ = ½

→(sinθ + cosθ)² = ¼

→1+2sinθcosθ =¼

②cot = 1/tan = cos²+sin²/cos*sin

 

③3cos²

= 3(1-sin²θ)

= 3(1-sin)(1+sin)

 

④(sinX+cosX)²=1 

→1+2sinθcosθ

→ sinXcosX=0

곱으로 0을 만들기 위해선 cosX 혹은 sinX=0

이때 다른하나는 1입니다.