[~고1]기초 변형 및 계산 테크닉
이하의 내용은 고1까지의 과목들을 응용하여 다음과 같이 구성되어 있습니다.
기초는 반드시 알고 있어야 되는 내용 [6문]
응용은 특정 지식을 중심으로 진행되는 흐름 [2문]
활용은 지식을 보조하는 부가정보 [2문]
해석은 문장이나 식의 진의 [6문]
테크닉 은 식 정리 [7문]
변형은 개념에 의해 변형된 식과 그래프 (가장 어렵습니다.) [10문]
선정은 단순히 어려움이 아니라 계산법을 모르면 손을 댈 수 없는 지식과
반드시 알아야 되는 계산법을 기준으로 합니다.
이를 무시하고 진도를 뺄지 아니면 한번 둘러보고 고민할 시간을 아낄지는 스스로의 판단에 맡깁니다.
※ ▷문제의 식 , ▶풀이
1.[기초]
1)차수 낮추기 , 차수 올리기
▷a²=a-⅓ → a³=a²-⅓a (차수 올리기)
▷t⁴-6t³+12t²=mt → t³-6t²+12t=m (차수 내리기)
2)F(0)=C (ax²+bx+c)
▷F(0)-G(0)=-3
∴ G(x)=F(x)+3
3)근은 대입시 0으로 만드는 수를 의미한다.
▷x³-2x+k = (x-α)(x-β)(x-γ)
∴ a³-2a+k=0 → k=a³-2a
4)여러개의 x에 대한 부등식은 하나로 합쳐진다.
▷t<-1 , t>A
∴ (t+1)(t-A)>0
5)분수함수의 정리
6)x≠α의 근
▷(a-b)(k+2(a+b))=0 (a≠b)
∴ k+2(a+b)=0 ∵ (a≠b)
2.[응용]
1)함수식을 사용한 근과 계수의 관계
▷f(0)*f(0)=-1 , f(0)=a , a²+a+k=0
▶a=f(0)이므로 두근의 곱은 K=-1
▷ƒ(x)+g(x)=x²+4x+C , ƒ(x)g(x)=x(x+2)(2x-1)
▶두 근의 합에서 4x가 되기 위한 ƒ(x),g(x)의 쌍은 (x(x+2) , 2x-1)
2)함수에 대한 대한 기함수 , 우함수 판단 {함수의 대칭}
▷ƒ(x+y)=ƒ(x)+ƒ(y)
▶y에 -x를 대입하면 ƒ(0)=ƒ(x)+ƒ(-x)
▶y=x=0을 대입하면 ƒ(0)=ƒ(0)+ƒ(0) ∴ƒ(0)=0 (아래 후술)
▶ƒ(x)+ƒ(-x)=0 → ƒ(-x)=-ƒ(x) (기함수)
3.[활용]
1)반원의 이차함수
※설명하는 내용은 사물과 도형들을 좌표평면에 두는 방법입니다.
▷원의 반지름이 2일때 원을 원점에 두면 반원에 대한 이차함수를 구할 수 있습니다
▶a2²+b2+2=a(-2)²-b2+2=0
∴y=½x²+2
2)일차함수와 이차함수의 교점의 비
▷ƒ(x)=이차함수
▷직선 apq 에서 ap:aq=1:4 라면 높이인 ƒ(p):ƒ(q)=1:4 가 됩니다.
4.[해석]
1)함수조건에의한 중심축
▷ƒ(1-x)=ƒ(1+x)
∴ 방정식은 중심은 x=1 ※1에 대칭하는 함수, 2차함수일때 축의 방정식
3)항상 위에있는 함수
▷f(x)가 g(x)보다 항상 위에있다면 f(x)>g(x) 라고 표현할 수 있습니다.
▷f(x)-g(x)>0
4)ƒ(0)가 들어간 식의 정리 (ax²+bx+c)
▷ƒ(0)=3ƒ(0)ƒ(0)
▶3ƒ(0)를 1 로 만들기 위해서 곱해야돼는 수는 1/3 이므로 ƒ(0)=1/3
▷ƒ(0)=ƒ(0)+ƒ(0) → ƒ(0)=0
▷ƒ(0)=ƒ(0)+ƒ(0)-1 → f(0)=1
5)두함수의 정비례
▷f(x)의 기울기가 x²와 정비례 하기 위해선 f(x)=ax²
6)ƒ(x) 가 g(x)로 나누어 떨어진다면
▷ƒ(x)=x³+ax²+bx+c, h(x)=(x+1)(x-2) , f(x)÷g(x)=k ...0
▶ƒ(-1)=0 , ƒ(2)=0 ※ƒ(x) = (x+1)(x-2)(x-α)
5.[테크닉]
1)
2)
3)
4)
5)
▷x²-3x=3ax
▶x²-(3+a)x=0
▶x(x-(3+a))
∴ x=3+a , x=0
6)
7)
▷-2t-at-3=1, -t²+2=at²+3t
▶-2t-at-3=1 → at=-t-2
▶ -t²+2=(at)t+3t → -t²+2=(-t-2)t+3t
∴ t=2
6.[변형]
1)합과 곱의 변형 {산술평균>기하평균}
▷ƒ(x,y)=x²+y²-2xy
▶x²+y²-2xy≥2xy-2xy
※(x+y)²≥4xy → x²+y≥4xy-2xy
2)가우스의 정의와 식{가우스 , 이해력 다소 필요 , HARD} ▶이해필요 ▶어려움
▷[x]는 x보다 크지않은 최대정수
▶x=[x]+a ※a는 양수 혹은 음수
▶[x]=x+a ※a는 양수 또는 음수이므로 +로 표현해도 같다.
▶[x/3] = n → x=3n+a ※위의 주황식이 적용됩니다.
▷[-x] = -n-a → -n(-1+1)-a ※-n-1은 정수부 1-a는 소수부가 됩니다.
▶[-x] = -n-1 ※가우스는 소수부인 1-a가 없는 숫자를 의미합니다.
3)무리수의 가우스 그래프 {허수 , 가우스}
▶x²>10 일때 허수가 되므로 정의역 {-3~3} 의 범위를 지닌다.
▶가우스에 의해 치역은 정수만 지니므로 {3,2,1}의 요소를 지닌다.
4)교집합의 갯수 그래프 {집합}
▷A={x|a<x<a+3} B={1,2} 일때 x=n(A∩B)의 그래프 입니다.
▶a<1<a+3 일때 a는 0<1<3 , -1<1<2 에서 0,-1
▶a<2<a+3 일때 a는 0<2<3 , 1<2<4 에서 0, 1
▶x의 갯수는 a=0 일때 2개 a=±1 일때 1개, 그 외의 범위에서 0개
5)연립 부등식의 정수의 갯수 그래프
▷A={(x+3)(x-2)<0} B={(x+1)(x-a)<0} 일때 정수의 갯수 x=n(A∩B)의 그래프 입니다.
▶{-3<x<2}∩{-1<x<a}
▶a=0 에서 정수 0개 , a=1 에서 정수 1개 , a=2 이상에서 2개
6)함수 한 밖의 X의 동기화 ※이해필요
▷xƒ(x)=g(x)
▶g(x+h)=(x+h)f(x+h) ※xf(x) 에 x+h를 대입한게아니라 g(x)에 x+h를 대입한 경우입니다.
7)a에 대한 항등식의 정리 ▶이해필요
▷y=x³-ax²+2ax+2
▶x³-y+2-ax(x-2)=0
▶x³-y+2=0=ax(x-2) ※a에대한 항등식이므로 a=0이 될수 있습니다.
8)이차 부등식의 완전제곱식
▷x²+2x+1+k ≥ 0 , k≥0
▶(x+1)²+k ≥ 0
∴ (x+1)²+k ≥ k
9)일차함수와 xƒ(x)의 관계 ※이해필요
▷ax+b=xƒ(x)
∴ƒ(x)=a ※ƒ(x)가 x를 품고있다면 x²이 되므로 비성립합니다. b=0, xƒ(x)=ax
10)함수 밖의 식의 함수식 ▶어려움
▷ƒ(x) = 이차함수 , ƒ(b)-b²=0 , ƒ(b+1)-(b+1)²=0
▶b와 b+1은 ƒ(x)-x²의 두 근 ※g(x)=ƒ(x)-x²로 판단해봅시다.
▶ƒ(x)-x²의 최대차항 계수는 a-1 ※ƒ(x)=ax²+bx+c라고하면 ax²-x²가 성립합니다.
∴ ƒ(x)-x²=(a-1)(x-b)(x-(b+1))
수학은 알고 있는 것을 사용할 차례를 발견할 수 있는 능력이 가장 중요합니다.
우리는 그것을 재능이라고 합니다.
만약 그 재능이 없는 사람이 수학을 해야만 한다면 어떻게 해야할까요.
이번 글이. 그에 대한 조금의 답이 되길 바랍니다.